河南省南阳市五校2024−2025学年高二上学期1月期末联考数学试题 [含答案]

这是一份河南省南阳市五校2024−2025学年高二上学期1月期末联考数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有一个景点相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．在长方体中，，E，F，G分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ）
A．8B．4C．D．
8．离散型随机变量X的分布列如下：
若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1
B．数列的前8项和为1
C．数列的前8项和为-2187
D．数列的前8项和为0
10．已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．焦点到渐近线的距离为1
D．动点到两渐近线的距离之积为定值
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．点到平面的距离为2
C．直线与是异面直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题
12．若，则的值为 ．
13．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ．
14．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 ．
四、解答题
15．已知圆过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点的圆的切线方程；
（3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值．
16．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．
17．人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．
18．如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.
（1）若，求点的坐标并证明点在椭圆上；
（2）证明：点在同一个椭圆上；
（3）若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.
19．某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为．
（1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率．
（2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间．
答案
1．【正确答案】D
【详解】甲，乙总的选法有（种），
则甲和乙恰有一个景点相同的选法为（种），
则所求概率为.
故选D．
2．【正确答案】B
【详解】经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
又，所以.
故选B
3．【正确答案】B
【详解】由，得，
故．
故选B
4．【正确答案】D
【详解】由长方体的性质两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系
则
故
，由于异面直线所成角的范围是
故异面直线与所成角的余弦值是
故选D
5．【正确答案】D
【详解】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，则，，.
不发生故障的事件为，
∴不发生故障的概率为.
故选D
6．【正确答案】A
【详解】.
故选A.
7．【正确答案】C
【详解】由抛物线的方程可知，焦点，
因为，所以直线的斜率，
因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，，
解得，，由图可知点的横坐标为，.
故选C.
8．【正确答案】D
【详解】由题设，则，A对；
由，则，联立，
所以，则，D错；
，B对；
，C对.
故选D
9．【正确答案】BD
【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数.
令，则，故A错误；
数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和，
令，则，故B正确；
数列的前8项和等于，
令，则，而，
则数列的前8项和为2187，故C错误；
数列的前8项和等于，
令，则，
因为，故D正确.
故选BD
10．【正确答案】AD
【详解】双曲线，对应，
所以双曲线的离心率为，A选项正确.
渐近线方程为，B选项错误.
左右焦点坐标为，到渐近线的距离为：
，所以C选项错误.
设，
到渐近线的距离之积为为定值，D选项正确.
故选AD
11．【正确答案】AD
【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴.
，，，，，
选项A：平面的法向量为,直线的方向向量为,
所以所成角的正弦值为,选项A正确.
选项B：,,设面的法向量为,
，,令得,
距离，所以选项B错误.
选项C：,,所以，所以四点共面，
直线与不是异面直线，选项C错误.
选项D：因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰，
所以面积,故选项D正确.
故选AD.
12．【正确答案】或
【详解】由可得或，
解得或，
又，解得，且，
所以的值为或.
13．【正确答案】
【详解】
如上图所示，设，，，，
则，.
因为，
所以.
因为、在双曲线上，则.
又因为过原点以为直径的圆过点，所以.
根据双曲线的性质有，联立得
所以，
设离心率，则，解得，（，舍去）.
所以.
14．【正确答案】1
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以，
由已知，
所以.
15．【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为，
因为点在圆上，
所以，即，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的标准方程为：；
（2）由（1）可得圆：，
则圆心，半径，
因为，则点在圆外，
当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，
圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线；
当过点的直线斜率存在，
可设直线方程，即，
圆心到该直线的距离，
由直线与圆相切，则，即，
可得，解得，
此时，直线方程为，即；
综上，切线的方程为或；
（3）直线被圆截得的弦长为，
圆心到直线l的距离为，
又直线l的横截距为，纵截距为，
则直线的方程为，即，
圆心到直线l的距离为，
整理可得，
由，得，
即，
解得或，
因为，则，则，故，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为．
16．【正确答案】（Ⅰ）详见详解；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连接.
因为，所以.
由平面侧面，且平面侧面，
得平面.
又平面，所以，
因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以
又，从而侧面，
又侧面，故．
(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，，，.
设平面的一个法向量，由，，得.
令，得，则.
设直线与平面所成的角为，则，
所以，
解得， 即.
又设平面的一个法向量为，同理可得.
设锐二面角的大小为，则，
由，得.
∴锐二面角的大小为.
17．【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件．
则，
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）解：（i）因为是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
（ii）由（i）得，
设为第次独立试验结束的概率，则
所以设题设概率为，则.
18．【正确答案】（1），见详解
（2）见详解
（3）或
【详解】（1）当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）设，则.

则直线 ①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得点在同一个椭圆上 .
（3）
当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
19．【正确答案】（1）0.79
（2）应扩建甲车间
【详解】（1）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”，
用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”，
则，
．
．
（2）甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81，
甲车间加工的每个零件获利的期望为（元），
乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76，
乙车间加工的每个零件获利的期望为（元），
因为，所以应扩建甲车间．
X
1
2
3
4
P
m
0.3
n
0.2