广东省惠州市正弘实验学校2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份广东省惠州市正弘实验学校2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．2B．6C．1D．14
2．在数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向右B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为x轴
4．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．过椭圆的一个焦点，且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为（ ）.
A．B．C．3D．
6．双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是递增数列D．是递增数列
10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆恒相交
C．直线被圆截得的弦长为4时，
D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
11．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
三、填空题
12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为
13．若点在椭圆上，分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是 .
14．在数列中，已知，且，则 ．
四、解答题
15．已知数列的前项和为
（1）求的最小值，并求此时的值：
（2）求出的通项公式
16．已知圆C经过点和，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值.
17．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值.
19．已知双曲线的渐近线方程是，且过点.
（1）求的标准方程；
（2），分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知.
（i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）求面积的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为等差数列中，，
所以公差.
故选B.
2．【正确答案】B
【详解】，且，
，， ，，
所以是以3为周期的数列，则.
故选B
3．【正确答案】D
【详解】因为抛物线方程为，则，即，
所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴，
即D正确，ABC错误.
故选D.
4．【正确答案】C
【详解】设双曲线的焦距为，
双曲线的离心率为，
则，即，即有，
又由双曲线的焦点在轴上，则其渐近线方程为.
故选C
5．【正确答案】C
【详解】易求得椭圆焦点的横坐标，然后将横坐标代入椭圆的方程可得出直线与椭圆交点的纵坐标，从而利用纵坐标差的绝对值求出弦长.
【详解】椭圆焦点的横坐标为：，
则直线与椭圆的交点纵坐标为：，得，
所以过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为.
故选C.
6．【正确答案】C
【详解】设直线的方程为，即，
联立方程组，消元得，
且，可得，
所以，解得，显然满足，
直线的方程为.
故选C
7．【正确答案】C
【详解】由题设，圆的半径为，则，
所以，点的轨迹是以，为焦点，
所以，的双曲线的左支，
又，则，故，
动圆圆心的轨迹方程为.
故选C
8．【正确答案】A
【详解】和分别是向量和的单位向量，
因为，所以，又，
所以，所以，
因为为椭圆上的任意一点，有，
设，，则，
在三角形中，，且夹角.
由余弦定理：，即：
又，
所以，解得，
又，所以是方程的两根，
所以，所以，又因为，
所以，所以，所以，又，
所以的取值范围是.
故选A.
9．【正确答案】ACD
【详解】由得，，即，
因为，所以，，故A正确；
因为为增数列，且，所以时最小，
所以是递增数列，故C正确；
因为，故B错误；
因为，
所以，即为公差为1的等差数列，
所以是递增数列，故D正确，
故选ACD．
10．【正确答案】ABD
【详解】直线，即，直线恒过定点，故A正确；
由，可知在圆内部，故直线与圆相交，故B正确；
如图，直线与圆相交于两点，连接，则，
过点作于点，则，所以，
即点到直线的距离，由得或，故C错误；
由图知，直线于垂直时，直线被圆截得的弦长最短，因，
此时，，所以直线的方程为，
整理得，故D正确.
故选ABD
11．【正确答案】ACD
【分析】
先求出，选项A求出点的横坐标为，判断选项A正确；选项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，判断选项B错误；选项C先判断外接圆的圆心的横坐标为1，再判断外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出的周长为，判断选项D正确.
【详解】
解：因为双曲线的方程为，所以，，则，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，
选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；
选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；
选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；
选项D：因为的周长为，所以选项D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】4
【分析】
由题意得，从而可求出的值
【详解】
由题得，解得或（舍去），
故4
13．【正确答案】1
【详解】由椭圆方程知：，
由椭圆定义知：

即，解得：
14．【正确答案】
【详解】由题设，当，，
所以，，，，
将上式累加可得，
所以，显然也满足，
所以.
15．【正确答案】（1）最小值为，此时或8；
（2）.
【详解】（1）由，，
故或时，最小为；
（2）当时，，
当时，，
显然不满足上式，故.
16．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，
由，得圆心到直线的距离，
则，即，
解得或，
所以实数的值为或.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为平面，平面，且四边形是矩形，
所以两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，因为，且.
所以．
因为，
所以，即．
（2）由（1）得．
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，所以．
因为平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为．
因为，
结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为．
18．【正确答案】（1）；
（2）4.
【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得，
由椭圆的离心率，得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，
由消去并整理得，
，解得，则，
，
原点到直线的距离，因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为4.

19．【正确答案】（1）
（2）（i）见详解，（ii）
【详解】（1）设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，
又，，
所以
同理，，
所以，所以，
由消去得，，
所以，
所以，
整理，得，
即
整理，得，
解得或，
当时，直线过点，不合题意，舍去，
当时，直线过点，满足题意，
所以直线过点.
（ii）因为，
又，所以，
由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直，
得，令，
则，，
因为在上单调递减，
所以，
所以得的取值范围是.