福建省莆田市城厢区九华学校2025_2026学年高一上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市城厢区九华学校2025_2026学年高一上学期第二次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知集合，则集合的非空真子集的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【正确答案】C
【分析】根据题意，利用集合的非空真子集的个数的求法，即可求解.
【详解】由集合，可得的非空真子集的个数为.
故选：C.
2. “角是第三象限角”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【正确答案】A
【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.
【详解】当角是第三象限角时，
，，
于是，
所以充分性成立；
当，即时，
角是第二或第三象限角，
所以必要性不成立，
故选：A．
3. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可．
【详解】对数函数单调递增，故，
又因为指数函数单调递增，故．
所以.
故选：D．
4. （ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】C
【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得.
【详解】.
故选：C.
5. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据基本函数的性质，结合函数奇偶性和单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于,函数为指数函数，不具有奇偶性，故错误；
对于,函数是二次函数，定义域为，
且，则函数为偶函数，
故错误；
对于,函数为幂函数型函数，定义域为，
且，
故函数为奇函数，
结合幂函数的性质易知，函数为上的减函数；
故正确；
对于,函数为反比例函数，定义域为，
易知满足，为奇函数，但在定义域上不具有单调性，
故错误，
故选：
6. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性求解即可.
【详解】由题意中，，解得：，
又因为在上单调递增，在上单调递减，且为增函数，
根据复合函数同增异减的原则可知：函数的单调递增区间是.
故选：B.
7. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是，经过一定时间(单位:分)后的温度是，则，其中称为环境温度，为比例系数.现有一杯的热水，放在的房间中，分钟后变为的温水，那么这杯水从降温到时需要的时间为（ ）
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
【正确答案】C
【分析】由已知条件列式求出，进一步利用条件列式求得所需时间，得到答案.
【详解】由题意得：，解得：，
当时，
则（其中），
解得：t=5.
故选：C.
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.
8. 已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
利用函数单调性定义可得函数在上单调递减，再根据根据分段函数判断单调性的方法建立不等式组即可求解.
【详解】解：由函数单调性定义可得函数在上单调递减，
则根据分段函数单调性的判断方法有：，
解得，
故选：D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设为实数，且，则B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2
C. 若是第二象限角，则是第四象限角D. 函数的零点是
【正确答案】BC
【分析】通过举例可判断A，由扇形面积公式可判断B，由象限角的范围可判断C，由零点的概念可判断D.
【详解】对于A，取，满足，此时，故错误，
对于B，由扇形面积公式，可得，解得，故正确，
对于C，由条件知，
则，即第四象限的角，故正确，
对于D，函数的零点是，故错误，
故选：BC
10. 已知实数x，y满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断A、B，把，分别转化，再利用不等式的性质可判断C、D.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，所以，解得，故B错误；
因为，又，
所以，故C正确；
因为，又，
所以，故D错误.
故选：AC
11. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数与函数表示同一函数
B. 函数的值域为
C. 若函数，则
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【正确答案】BC
【分析】A选项，考查相等函数的判断，注意函数三要素；B选项，为根式型求函数值域，用到换元法求值域，注意定义域范围；C选项，为换元法求解析式题型，注意新元的范围；D选项，抽象函数的定义域问题，注意区分范围.
【详解】对于A，函数的定义域要求且，即；
函数的定义域要求，即，两者定义域不同，故不表示同一函数，A错误；
对于B，设，则，代入函数得：，这是开口向下的二次函数，
对称轴为，最大值为：，当时，，故值域为，B正确；
对于C，设，则，，代入得：，
故，C正确；
对于D，因为函数的定义域为，所以需满足且，
解得且，即，定义域为，D错误.
故答案：BC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 函数的图象恒过定点，则点坐标为________.
【正确答案】
【分析】根据对数函数的性质求解即可.
【详解】令得，，故.
故答案为.
13. 已知函数，若为偶函数，则实数的值为__________________．
【正确答案】
【分析】由题可得解析式，然后由偶函数性质可得答案.
【详解】，
因为偶函数，则.
故
14. 已知函数，则函数的值域为______；
【正确答案】
【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域及不等式的性质可求得函数的值域.
【详解】，因为，则，所以 ，即，
所以，故函数的值域为.
故
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.
15. 设全集，或，，.
（1）求，，；
（2）若，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）,或
（2）
【分析】(1)利用集合的交并补集运算即可求解；
(2)利用交集关系转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组求解即可.
【小问1详解】
因为或，所以，
因为或，，
所以或；
【小问2详解】
由可得：，
又因为，，
所以，
即实数的取值范围.
16. 求值：
（1）；
（2）.
（3）已知，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据指数运算法则，可得答案；
（2）根据对数运算法则，可得答案；
（3）利用完全平方公式和指数运算法则，可得答案.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式.
【小问3详解】
，解得.
17. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若正数，满足，求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据幂函数的定义域和单调性，求出值；即可得出函数的解析式；
（2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围；
（3）巧用“1”的代换结合基本不等式求解.
【小问1详解】
因为是幂函数
则，或.
时，函数在上单调递减
时，函数在区间上单调递增，符合题意
故.
【小问2详解】
由（1）得，
因为是R上的单调增函数，
由，得.
解得；
【小问3详解】
由（1）知，即，
，
.
当且仅当，即时等号成立,
的最小值为.
18. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点，
（1）求tanα；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正确答案】（1）2 （2）
（3）
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得.
（2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可.
（3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可.
【小问1详解】
根据任意角三角函数的定义可得
【小问2详解】
由（1）知.
因为，且，
所以.
所以的值为.
方法二：
根据任意角三角函数的定义可得.
所以.
所以的值为.
【小问3详解】
由（1）知.
因为，，且，
所以.
所以的值为.
方法二：
由（2）知，.
所以.
所以的值为.
19. 已知函数的图象经过点．与互为反函数.
（1）求的值及的定义域，并判断的奇偶性；
（2）求关于的不等式的解集．
【正确答案】（1），定义域为，为非奇非偶函数
（2）}
【分析】（1）将点代入解析式中计算即可得，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶；
（2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，即，
所以，即，则，
则有，解得，故的定义域为，
为非奇非偶函数；
【小问2详解】
由（1）可得，，
由与互为反函数，可得，
不等式可化，
因为在上是增函数，
所以，即，解得，
故该不等式解集为.