福建省莆田市城厢区九华学校2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市城厢区九华学校2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，已知，则等于（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用等差数列的性质即可求解.
【详解】因为数列是等差数列，所以.
故选：D.
2. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将直线方程化为斜截式，根据斜率与倾斜角关系求.
【详解】直线可化为，可知直线斜率为.
所以，解得.
故选：A.
3. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设，即可求出，，，结合椭圆的定义及性质计算可得.
【详解】由题意，设，则．
由椭圆的定义得，则离心率．
故选：B．
4. 若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据抛物线的性质，点到焦点的最短距离为，代入求解即可．
【详解】抛物线上的点到焦点的最短距离为，
，解得，
所以抛物线方程为．
故选：D．
5. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ）
A. －63B. －31C. 31D. 63
【正确答案】D
【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果．
【详解】因为，所以，
所以，，其中,
而，结合可得，此时，
故数列是公比为的等比数列，
所以.
故选：D
6. 已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可.
【详解】由，
化简可得，
则有，解得.
故选：B.
7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率.
【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形，
因为面积为，所以的面积为，
所以，即．
又因为，所以，，
在中，，则，所以.
故选：A．
8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率.
【详解】由题意知延长 则必过点 ，
，
设，
则，，
由双曲线的定义可得
，，
由可得，
中，由余弦定理
可得，
在中，由余弦定理
可得
解得：，
则，
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据题意分和两种情况求数列的通项公式，进而可得.
【详解】因为，
若，则；
若，则，可得；
显然不满足，所以.
则，，；，，，
可得，故AC错误，BD正确.
故选：BD.
10. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程为
B. 的最大值为6
C. 的取值范围是
D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得
【正确答案】ACD
【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B；
为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点.
【详解】因为，所以
化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确；
，几何意义为点到定点距离的平方加1，
因为点在圆上，圆心为 ，半径 ，
到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为
所以最大值为，选项B错误；
圆，圆心为 ,半径 ；
两圆心距为 ;
则的最小距离为；
的最大距离为；
所以范围是，选项C正确；
当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确.
故选：ACD
11. 已知为坐标原点，过抛物线焦点直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（ ）
A. 直线的斜率为
B.
C.
D.
【正确答案】AD
【分析】作可知，由此确定点坐标，得到，知A正确；利用，结合韦达定理可构造方程求得B错误；利用长度关系和两角和差正切公式可推导得到，知C错误；根据，结合韦达定理可知D正确.
【详解】
对于A，作，垂足为，设，
，，又，，，
，，
，即直线的斜率为，A正确；
对于B，由A可设直线，即，
由得：，，，
，又，，即，
，即，
，解得：或，
又，，即，，B错误；
对于C，，，
由B知：，，
，，
，
，
，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为___________．
【正确答案】4
【分析】由给定的双曲线方程及渐近线方程求出，进而求出焦距.
【详解】双曲线的渐近线为，则，解得，
因此该双曲线半焦距，所以该双曲线的焦距为4.
故4
13. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是__________.
【正确答案】
【分析】先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积.
【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得，
，所以，即，
代入椭圆方程解得，所以，即，
所以,.
故
14. 已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】由题设，讨论符合求其范围，进而得到的取值范围.
【详解】由题意，
当时，，可得或，
此时，时，恒有或，故或，
同时，由，而，
所以，
所以或，故或，
当时，在上单调递减，则，显然，
且在上单调递增，则，依次类推知时恒有，
由在上单调递增，则恒成立，
所以是严格增数列，满足；
当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有，
由上单调递增，则恒成立，
所以是严格增数列，满足；
所以或
当时，，可得，不合前提；
综上，.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.
（1）求的值
（2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解；
（2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解.
【小问1详解】
因为圆：可化为，
所以圆心为，半径为，
因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心，
将代入，即 ，解得.
【小问2详解】
依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则．
当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即，
所以圆心到直线l的距离，解得，
直线l的方程为，即，
综上所述，直线l的方程为或.
16. 已知数列的前n项和为，_______.请在①，；②，，成等比数列，，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）选择条件①，利用数列前n项和为与数列的项之间的关系，化简等式求得，利用“累乘法”求得数列通项公式.选择条件②，利用数列前n项和为与数列的项之间的关系，得到数列为等差数列且求得公差，再由题意建立等量关系，求得，即可求得数列通项公式.
（2）利用裂项相消求得的值.
【小问1详解】
选择条件①，
∵，即，∴，
由累乘法可知当时，,
验证，当时，，
∴数列的通项公式.
选择条件②，
∵，即，∴，
∴数列是公差的等差数列，
由题意可知，∴，解得，∴，
∴数列的通项公式.
【小问2详解】
，
.
17. 已知椭圆的离心率为是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求和的面积.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由离心率和顶点坐标求出，得到椭圆方程；
（2）由弦长公式求，由及点到直线距离求面积.
【小问1详解】
由椭圆的右顶点可得，又，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为.
由得，
设，则，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以.
18. 已知数列的前项和为，且，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证；
（2）利用错位相减法求解可得；
（3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，即，
所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.
【小问2详解】
又（1）可得，，
所以①，
则②，
由①-②得：，
所以
【小问3详解】
由（1）可得，，
所以，即，
记，
因为，
所以时，，即，
当时，，即，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
19. 已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分.
【正确答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，再求即可求解，
（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得，
（i）求直线的方程，由此可得，再求，由此证明结论；
（ii）由（i）求的坐标，求，，，由此证明.
【小问1详解】
由题意，设左焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，，
左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
由题知，
因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
则，
方程的判别式，
由已知为方程的两个根，
所以，
（i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为
联立可得
，
则，即在直线上；
（ii）证明：由（i）知，（其中）
则
即，故射线平分.