福建省龙岩市第二中学东山校区2025_2026学年高一上学期第二次（12月）月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省龙岩市第二中学东山校区2025_2026学年高一上学期第二次（12月）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系.
【详解】由，则必有，但反之不一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2. 已知是第二象限角,
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】csα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴csα＝－.
3. 若幂函数在区间上是减函数，则实数m的值（ ）
A. B. C. 或2D. 或1
【正确答案】B
【分析】
首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证.
【详解】因为函数是幂函数，所以，
解得：或，
当时，，不满足函数在区间是减函数，
当时，，满足条件，
故选：B.
本题考查幂函数，重点考查函数定义，计算，属于基础题型.
4. 函数部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性得函数是奇函数，故排除AB，再根据特征点代入判断即可．
【详解】解：函数是奇函数，排除选项B，A，
或，
当时，，对应点在第一象限，排除C，
故选：D．
5. 已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由扇形的弧长和面积公式可直接求解.
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为，面积为S，
由题意得，解得，
故选：C.
6. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可.
【详解】指数函数在上单调递减，因为，
所以，即；
对数函数在上单调递减，因为，
所以，即，
指数函数在上单调递增，因为，所以，即.
综上，.
故选：D.
7. 下列函数中，最小正周期是且在区间上是增函数的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：B.的最小正周期是，C.的最小正周期为，A,D的最小正周期都是，当时，，是先减后增，是增函数，故选D.
考点：三角函数的性质
8. 已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
问题转化为，求出在上的最小值，而为或，解不等式组，即可求解.
【详解】，当时最小值为-1
对任意，总存在，使得成立，
只需，即，
而为或，
只需，解得.
故选:A
本题考查不等式存在成立和恒成立问题，转化为函数最值是解题的关键，属于中档题.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A. “，”的否定是“，”
B. ，都有
C. 若a，b是实数，则“”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的充分条件
【正确答案】AD
【分析】根据存在量词命题的否定判断A；举例说明即可判断BC；根据交集的定义和运算、充分条件的定义判断D.
【详解】A：“”的否定为“”，故A正确；
B：当时，有，所以“，都有”错误，故B错误；
C：当时，满足，但不满足；
当时，满足，但不满足，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D：若，则且，
所以“”是“”的充分条件，故D正确.
故选：AD.
10. 在下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
B. 时，则的最小值是5
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 的最小值为2
【正确答案】ABD
【分析】A. 由充分条件和必要条件的定义判断； B.由基本不等式求解判断；C.先解 ，再利用充分条件和必要条件的定义判断； D.由基本不等式求解判断.
【详解】A. 若p是q的充分不必要条件，则由p可推出q，由q不能推出p，q是p的必要不充分条件，故正确；
B.因为 ，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以则的最小值是5，故正确；
C. 由，解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；
D.因为，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以的最小值为2，故正确；
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ）
A. B. 为上的增函数
C. 为奇函数D. 若则的取值范围为
【正确答案】ACD
【分析】利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:，
对于A，令，则，所以.
所以A正确.
对于B，令，则，，所以.
所以，所以为上的减函数.
所以B错误.
对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为.
令，则，即.
所以为奇函数.所以C正确.
对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数.
因为，所以.
所以，即，解得.
的取值范围为.所以D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则其定义域为______．
【正确答案】[3，0）∪（0，3]
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】因为函数，
所以，
解得3≤x≤3且x≠0；
所以函数f（x）的定义域是[3，0）∪（0，3]．
故答案为[3，0）∪（0，3]．
本题考查了求函数定义域的问题，要保证函数有意义，开偶次根时被开方的式子非负，0次幂的底数非零．
13. 已知角的终边经过点，则 _____.
【正确答案】
【分析】利用诱导公式结合三角函数的定义可求得所求代数式的值.
【详解】因为角的终边经过点，
则.
故答案为.
14. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，，若，则的取值范围是_______________．
【正确答案】
【分析】根据偶函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，再结合题意，得出，进而由单调性解不等式得出或，即可求出的取值范围.
【详解】解：已知在上的偶函数在上单调递增，则在上单调递减，
因为，则由，得，即，
则，得或，解得：或，
所以的取值范围是.
故答案为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合或，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【正确答案】（1）或，
（2）或
【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解；
（2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
时，，故或，
，或，
故；
【小问2详解】
由题意得是的真子集，
若，则，解得，
若，则或，
解得，
故的取值范围是或
16. 已知.
（1）求；
（2）若角为第二象限角，且，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用诱导公式整理得，进而代入求解即可；
（2）根据同角三角关系可得，进而可得结果.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
若角为第二象限角，且，则，
可得，
所以.
17. 某精工企业利用AI技术做了某产品前期生产和市场模拟，得到结论：生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品能全部销售完.
（1）求年利润万元与年产量万件的关系式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【正确答案】（1）
（2）年产量为50万件时，公司所获年利润最大，最大年利润为2200万元
【分析】（1）根据题设函数结合题意求解即可；
（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意知
【小问2详解】
当，且时，，
当时，；
当，时，，
当且仅当，即时取“”，此时.
综上，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，最大年利润为2200万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析；
（3）
【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果；
（2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增；
（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时定义域关于原点对称，且，
故是定义在上奇函数，满足题意，
所以.
小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，即，
所以，即，
因此在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数，
所以由，得，
因此需满足，解得，即，
故实数a的取值范围为.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在区间上的值域．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据图象分别可求，根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式，
（2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解；
（3）当时，，即利用整体代换法即可求解值域.
【小问1详解】
由图知，
设的最小正周期为，则，
，解得．
．
又，
即，又，
．
【小问2详解】
令，·
得，
的单调递减区间为．
【小问3详解】
当时，，
即当时，取到最小值，
当时，取到最大值，
， ·
，
即在区间上的值域为.