福建省福州恒一高级中学2025_2026学年高三上学期12月资优生阶段检测数学试题 [含答案]

这是一份福建省福州恒一高级中学2025_2026学年高三上学期12月资优生阶段检测数学试题 [含答案]，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则集合中所有元素之和为（ ）
A．0B．2C．D．
2．设为复数的共轭复数，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为，且，则可以是（ ）
A．B．C．D．
4．若点绕着坐标原点按逆时针方向旋转角到达点，则（ ）
A．B．0C．D．
5．已知为坐标原点，直线与圆交于，两点，若为的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．11D．12
6．为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数满足，，，下列说法不正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
10．在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．三棱锥的体积不变
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
11．过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知向量，，则 ．
13．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，与相交于点，为中点．若，则的准线方程为 ．
14．对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“数列”．如果数列为函数的“数列”，，且，则 ．
四、解答题
15．在四边形中，，，，平分，与相交于点．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的面积．
16．如图，棱锥中，平面平面，和都是等边三角形，四边形是等腰梯形，．
（1）证明：平面；
（2）若，求；
（3）当变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由．
17．已知数列满足：，．
（1）求，并判断是否恒成立；
（2）设，证明：是等差数列；
（3）数列的前项和为，求．
18．已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点.
（1）求证：；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值；
（3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标.
19．已知函数，．
（1）若为增函数，求的取值范围；
（2）若，求最大值的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】A
【详解】由解得：，
由解得，
所以，，
，
即，区间关于原点对称，
所以集合中所有元素之和为0．
故选A．
2．【正确答案】D
【详解】由方程得，
对于A：显然不对，A错误；
对于B：若，则；若，则；B错误；
对于C：法1，若，，则；
若，，则；C错误；
法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误；
对于D：法1，若，，则；
若，，则；D正确；
法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确；
故选D．
3．【正确答案】B
【详解】由知，为偶函数，
由知，则，即，的周期为2，
由知，为的一个对称中心．
对于A：，所以是奇函数，A错误；
对于B：，是偶函数；，周期为；
，，
即，为的一个对称中心，B正确；
对于C：，是周期为的奇函数，C错误；
对于D：，是周期为的偶函数，D错误；
故选B．
4．【正确答案】C
【详解】设，则，由三角函数的定义可知，
故：，，
由二倍角公式可得：．
故选C．
5．【正确答案】A
【详解】由题意可得圆心为，半径为2，直线过定点．
因为为的中点，所以，点(或点)即点，
故点在以为直径的圆上（去掉点），
而，且圆的半径为1，故圆的方程为，
由图知，，即的最大值为．
故选A．
6．【正确答案】D
【详解】连接，,因为，关于点对称，
所以,
由于，关于直线对称，则为的中垂线，
则,,
所以四边形的周长为,
由椭圆的定义可得：,
所以，
即四边形的周长为
故选D
7．【正确答案】B
【详解】当，时，由得，，
令，则．
令，，则，
故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的，
使得，即，即，所以，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以，
故，．
故选B
8．【正确答案】B
【详解】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以，
在中，设其外接圆的半径为，可得，所以，
可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆交弦，
设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为，
取的中点，连接，可得，
在直角中，可得,
所以外接球的表面积是．
故选B.
9．【正确答案】ABC
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
因为，，所以，，
又，所以，所以．
当时，，选项A错误．
当时，，选项B错误．
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，选项C错误．
当时，，
，，
函数在上的图象如下：
由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，
即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确．
故选ABC．
10．【正确答案】BCD
【详解】对于选项A：在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
同理可证，
因为平面，平面，则平面，
因为平面，平面，则平面，
因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A错误；
对于选项B：由选项A可知：，
且平面，平面，则平面，
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
且平面，平面，则平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于选项C：因为平面，且点在线段上运动，
可知点到平面的距离为定值，
且的面积为定值，所以三棱锥的体积不变，故C正确；
对于选项D：不妨设正方体的边长为2，
因为是边长为的等边三角形，则，
设点到平面的距离为，
则，解得，
设直线与平面所成角为，则，
当点与点重合时，取最小值，此时取最大值；
当点与点重合时，取最大值，此时取最小值；
且正弦值具有连续性，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，故D正确；
故选BCD.
11．【正确答案】AD
【详解】，设切点为，
则切线方程为：，
因为切线经过点，将点代入得，
化简得，
故方程有一个根．
令，，转化为直线与曲线只有一个交点，
，
当时，；当时，．
故在和上单调递增，在上单调递减，，．
根据直线与只有一个交点，则有或．
故选AD．
12．【正确答案】
【详解】，
，
．
13．【正确答案】
【详解】过，作准线的垂线，垂足为，，过作的垂线，垂足为，与轴相交于．
因为为中点，所以，所以，
设，，，
又，所以，．
由三角形的相似，可得，即，
故，的准线方程为．
14．【正确答案】
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
即，又，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以.
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）
在中，，，，
，故，；
在中，，，，
，
；
在中，，，
由余弦定理得：，
，解得，
．
，
．
（2）在中，， ， ，，
．
由正弦定理，得：， ，解得，
．
16．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）余弦值都为定值
【详解】（1）因为，所以，
且平面，平面，
所以平面.
（2）把平面与平面展开成平面图形，使得在的位置，
则菱形，，在边，上，如图．
取中点，中点，连接，，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，
则，，，，
可得，，
因为直线与垂直，
则，解得（舍）或，
可知，，所以.
（3）设二面角的平面角为，则为钝角．
可得，，
设平面的法向量，则，
取，，可得，
又因为平面的法向量，
可得，
且为钝角，可得，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
所以当变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值
17．【正确答案】（1），不恒成立
（2）见详解
（3）
【详解】（1）因为，所以，，；
又，，故不恒成立．
（2）当，，；
当，，；
两式相加，可得，故，
由，可得是等差数列．
（3）当时，，又，
所以，则在偶数项的和中，每对，均满足此条件．
又由（2）可得 ，
则



18．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3），，，
【详解】（1）由双曲线的离心率，可知，即，
所以双曲线，
设，，，
，
，
所以；
（2）设，，
，即，
所以为定值；
（3）根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为，
则的最大内角为最大，此时，则，
设直线，联立双曲线方程，
，得，得或（舍），
时，，即，
根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为，
所以满足条件的点坐标为，，，.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1），
因为为增函数，故，即，
又因为，所以，
所以
（2）若时，因为在单调递减，
所以存在唯一使得，即
又因为，故，．
当，，单调递增；
当，，单调递减；
所以最大值为．
令，
则，
所以在单调递增，
故的取值范围为，
故最大值的取值范围
（3）由，得．
设，，则，
，
设，则，
所以当时，；当时，，
所以，
又，
①当，即时，，
在上单调递减，则，不满足题意；
②当，即时，
（ⅰ）若，，即时，，使得，
且时，，
在上单调递减，，不满足题意；
（ⅱ）若，，即时，，使得，
且时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以成立，满足题意；
（ⅲ）若，，即时，，在上单调递增，
则，满足题意．
综上可得，即实数的取值范围是