北京市通州区潞河中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]

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一、单选题
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边过点，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的零点所在的区间可以是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中是正常数．经检测，当时，，则当稳定性系数降为时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参考数据：，)
A．10年B．11年C．12年D．13年
9．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点是函数图象的一个对称中心
B．函数的最小正周期为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的一个零点是
10．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
① ②
③ ④
A．①②B．①③C．②③D．①③④
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
12．满足的α、β的一组值是 ．（写出一组即可）
13．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
14．已知函数，则的单调递增区间为 ；满足的非负整数解的个数为 ．
15．已知函数，则下列所有正确命题的序号是 .
①函数图象关于直线对称；②在上有4个零点；
③在上单调递减；④的值域是
三、解答题
16．计算下列各式的值
（1）已知，求的值；
（2）；
（3）化简：．
17．已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若，解关于x的不等式的解集．
18．某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
（1）根据上表中数据，求出ω，φ及，，的值；
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求函数在区间内的最值．
19．党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式．
（1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）
（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
20．已知且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）令，写出的单调区间（只需写出结论）；
（3）在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
21．设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质：
①都是元素个数为的数集；
②对任意，集合的元素个数均为1；
③.
（1）若集合具有性质，写出集合；
（2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由；
（3）若集合具有性质，求的最大值.
答案
1．【正确答案】C
【详解】，
故选C
2．【正确答案】D
【详解】因为角的终边过点，所以为第二象限角，所以，
所以位于第四象限.
故选D.
3．【正确答案】C
【详解】由函数的图象过点，得，解得，
函数，即的定义域为，
，即函数是偶函数，
当时，在上单调递减，ABD错误，C正确.
故选C
4．【正确答案】A
【详解】在上单调递增，在内单调递增，
在定义域上单调递增，
，，
根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确；
，函数在定义域上单调递增，
，故BCD错误．
故选A．
5．【正确答案】A
【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确；
对于B，当时，，所以，故B错误；
对于C，当时，所以，故C错误；
对于D，当时，，所以，故D错误，
故选A.
6．【正确答案】A
【详解】由，得到，
则，当时，，
所以可以推出，但推不出，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选A.
7．【正确答案】B
【详解】因为，
，，
所以.
故选B
8．【正确答案】D
【详解】由，得，
令，得，
两边取常用对数，得
，
所以．
故选:D.
9．【正确答案】B
【详解】对于A，因为，所以是的零点，
所以是图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，因为，所以是的一条对称轴，
所以，可得，
因为，，则令，所以，故B错误；
对于C，又，故，则，
所以是图象的一条对称轴，故C正确；
对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心，
则函数的一个零点是，故D正确.
故选B
10．【正确答案】B
【详解】对于①，对任意，都存在，
使得，故0是集合的聚点；
对于②，取，此时对于任意，
都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点；
对于③，对任意，都存在，即，
使得，故0是集合的聚点；
对于④，，即随n的增大而增大，
故的最小值为，故当时，不存在x，使得，
故0不是集合的聚点；
故选B
11．【正确答案】
【详解】由，得，
所以函数的定义域为.
12．【正确答案】，(答案不唯一)
【详解】取，则,,
所以,则,所以，可取，
则满足的α、β的一组值是，.
13．【正确答案】
【详解】解：由二次函数图象可知，
二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为，
所以，，解得，
所以化简整理得：，解得或，
所以不等式的解集为
14．【正确答案】和 17
【详解】当时，，则其单调增区间为，
函数的对称轴为，
则当时，，其单调增区间为，
综上所述，的单调递增区间为和，
由，
得或，
解得或，
所以满足的非负整数解有个.
15．【正确答案】②③
【详解】显然，即函数为偶函数.
对于①，易知，
即，所以不关于对称，①错误；
对于②，作出的图象，
则函数的零点问题化为该两函数交点个数问题，
由图象可知在上有4个零点，故②正确；

对于③，易知时，单调递增，单调递减，
则单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，故③正确；
对于④，由偶函数的性质，我们只研究时函数的值域.
易知，，则，
且时可以取得等号；
下面分析值域下限，，
显然时，，故④错误.
16．【正确答案】（1）7
（2）8
（3）
【详解】（1），
则两边同时平方可得，，
故；
（2）
；
（3）．
17．【正确答案】（1）；
（2）见详解.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
因为为偶函数，所以，可得．
（2）由题意得，
所以不等式即为，
令，则，，且是开口向上的二次函数，根据其性质得：
当时，的解集为；当时，的解集为空集；
当时，的解集为；
综上，不等式的解集如下，
当时，的解集为；当时，的解集为空集；当时，的解集为．
18．【正确答案】（1），，，，；
（2）
（3）最小值，最大值．
【详解】（1）由表格数据知：
的最小正周期，∴，
∴，∴由题意，解得，
又，∴；
则由题，解得；，解得；，解得；
（2）由（1）知，令，解得，
∴的单调递减区间为；
（3）因，则.
又在上单调递减，在上单调递增，
则，，
即的最大值为，最小值为.
19．【正确答案】（1）
（2）销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元
【详解】（1）当时，，
当时，，
故．
（2）当时，，
故当时，取得最大值，且最大值为128，
当时，
，
当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136，
由于，
所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．
20．【正确答案】（1）为奇函数，见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）为奇函数.证明如下：
由，得或，
即函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（2）由题意知，由，解得或，
即的定义域为，
又函数在上单调递增，
当时，在上单调递减，
此时的减区间为，无增区间；
当时，在上单调递增，
此时的增区间为，无减区间.
（3）由，，得，
又，得，所以.
所以在上单调递减，则在上的值域为，
得，即，
所以是方程即在的两个不同的根，
则，解得.
所以存在满足题意的，此时a的取值范围为.
21．【正确答案】（1）
（2）不存在，理由见详解
（3）13
【详解】（1）由题意可得集合A中有3个不同的元素，
若，要使与满足条件②，则均不属于，所以，
同理可判断均不属于，
则符合题意，所以.
（2）不存在，理由如下：
假设存在使得.
不妨设，设，
，，，.
由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同.
由③可知，存在集合与的交集不为，
且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素，
不妨设集合为，且，故.
由②可知，的元素个数均为，
且均不为或，
所以集合或，或，或.
由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾.
所以不存在使得.
（3）设集合具有性质.
在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合，
否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合，
则与②或③矛盾.
不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合，
除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为，
设集合包含元素.
当时，若，则，与②矛盾，
所以互不相同，且均不为.
因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以.
所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个.
同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个，
除了集合之外，包含元素的集合至多有个，
除了集合之外，包含元素的集合至多有个.
所以.
当时，集合具有性质，其中：
，，，，
，，，，
，，，，
.
所以的最大值为.
x
0
π
2π
0
1
0
－1
0