北京市大兴精华学校2025_2026学年高三上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份北京市大兴精华学校2025_2026学年高三上学期12月月考数学试题 [含答案]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（ ）

A．B．C．D．
3．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数a､b､c，则下列结论不正确的是（ ）
A．若则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则与相交
6．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．3
7．如图，在棱长为1的正方体中，点P满足，则下列说法正确的是（ ）
①当时，平面；
②当时，；
③当时，AP长度的最小值为；
④当时，存在点P，使得AP与平面所成的角为
A．①②B．①③C．②③D．②④
8．已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（ ）．
A．是偶函数B．
C．D．
9．已知，其中，则“存在使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若函数，则 .
12．已知正项等比数列中，，则 .
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 .
14．设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 .
15．如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论：
①点在上；
②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数；
③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点；
④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题
16．在中，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．已知函数．
（1）求在上的单调增区间；
（2）设函数，从条件①②③中选出两个作为已知，使存在且唯一，求的解析式，并直接写出时，曲线与的交点个数．
条件①：；
条件②：，；
条件③：若，，则；
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证.
20．已知函数（）.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和，
（ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行；
（ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值.
21．给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．
（1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由；
（2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数；
（3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意，得集合,
，，，空集是任何集合的子集.
故选
2．【正确答案】D
【详解】在复平面内，复数对应的点分别为，
则，
得．
故选
3．【正确答案】B
【详解】设扇形的半径为，
因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，
则，所以
则该扇形的面积为.
故选B.
4．【正确答案】B
【详解】对于A选项，若可得(否则，两边都是0），
又因为,所以.
两边同时除以得，选项A正确，
对于B选项，取，，B选项错误，
对于C选项，，同时乘以小于的数得：，选项C正确，
对于D选项，作差可得.
因为，所以，，则.
所以，即成立，选项D正确.
故选B
5．【正确答案】C
【详解】A选项，若，则或异面，A错误；
B选项，若，则或异面或相交，B错误；
C选项，因为，，，所以，
因为，，所以，故，C正确；
D选项，若，则与相交或异面，D错误.
故选C
6．【正确答案】B
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线．
点到直线的距离为．
点到直线的距离，
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立，
故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2.
故选B
7．【正确答案】A
【详解】对①，当时，P为线段上的点不含B点，
显然，又平面平面；
所以平面；所以①正确；
对②，当时，P为线段上的点，又AB垂直右侧面，
所以AP在右侧面的射影为，又，
又平面平面，所以，因为平面，
所以平面，平面，
所以，所以②正确；
对③，当时，P为线段上的点，
又三角形是边长为的等边三角形，
所以AP长度的最小值为该等边三角形的高，即为，所以③错误；
对④，当时，P为线段上的点，又AB垂直右侧面，
所以AP与平面所成的角为，且，
所以当BP取最小值时，取得最大值，
所以小于，所以不存在点P，使得AP与平面所成的角为，所以④错误.
故选A.
8．【正确答案】D
【详解】对于C，（其中，），
，即，
整理可得：，解得：，C正确；
对于A，，
，
，是偶函数，A正确；
对于B，，
在处取得最大值，，
即，，B正确；
对于D，，
，D错误.
故选D.
9．【正确答案】C
【详解】若，即，所以，
即“存在，”是“”的必要条件.
若存在，，则当时，.
分两种情况讨论：
①若，在区间$[0,1]$上递增，
所以当时，，
所以，故；
②若，当时，，，
若，则，
而，所以.
因此，即或.
这与矛盾.
故，即或，
而，，所以，故.
故“存在，”是“”的充分条件.
所以“存在使”是“”的充要条件．
故选C．
10．【正确答案】A
【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点，
对于曲线，
用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称；
用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称；
圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称，
可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，
若，曲线即为，
联立方程，消去y可得，
构建，则的图象开口向上，对称轴为，
可知在内有两个零点，注意到，
则，解得，
可得，，
原题意等价于在内有两个零点，
且，
可知符合题意，所以a的取值范围是.
故选A.
11．【正确答案】
【详解】在中，令，
则有.
12．【正确答案】16
【详解】由正项等比数列的公比为，
则，即，则有，
所以.
13．【正确答案】
【详解】因为双曲线，
所以，解得，即
故双曲线，所以，即
所以的离心率.
14．【正确答案】0（答案不唯一） /
【详解】要使的值域为，令，则能取遍内的所有值，
因此，解得或，
故若的值域为，则a的一个取值可以为0，
若值域为且在上是增函数，则需满足，解得或，
故的值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为.
15．【正确答案】①③④
【详解】对于①，将点代入到曲线方程中得，，所以点在曲线上，故①正确.
对于③，当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则是的极小值点，故③正确.
对于②，由③可知，，则以为切点的切线方程为
，即，
将切线方程代入到曲线方程中得，
，即，
显然是方程的根，所以，
解得或，故②错误.
对于④，设的解为，
则当，单调递增；
当时，单调递减，
又，
，
，
所以，
设曲线上的点，则，
到原点的距离为，
由可得，
令，则，
令，因为，所以取，
当 时，单调递增；
当时，单调递减，
又，
所以当时，，则，故④正确.
16．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，则，
由，则，故，
即，又，故；
（2），
则，故.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为，，
，平面，所以平面，
又底面为正方形，及，
所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，，故，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离.
18．【正确答案】（1），
（2）选②③，，交点个数为
【详解】（1）
，
当，有，
当或，
即或时单调递增，
故在上的单调增区间为，；
（2）由①可知，为的周期，无法确定的值；
由②可知，函数的最大值为，
则且，即，
因，则；
由③可知，的最小正周期为，即，得；
故选②③可使存在且唯一，此时，
列表：

由图可知，时，曲线与的交点个数为．
19．【正确答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）依题意得，，且，解得，
所以椭圆E的方程为；
（2）设，其中，，.
因为，，，，
所以直线的方程为，
令，则，所以，
因为直线的方程为，
又直线的方程为，
联立，解得，
所以，
所以直线的斜率，
又因为，
所以，
因为直线的斜率，所以，
又因为直线与直线显然不重合，所以.
20．【正确答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间
（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）
【详解】（1）当时，，
则，
令，则，故在上递增，
又，则时，，又，故，
当时，，又，故，
故恒成立，故在上单调递增，
即函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）（ⅰ）当时，，
根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根，
故，，则，，
且有，则，
，
则，
同理
，
故函数在两点，处的切线平行；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
故在点处的切线为，，
令，则，
又，故，
故，又，且，
所以，
令，则，又，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以的最大值为.
21．【正确答案】（1）是，理由见详解
（2）3个
（3）
【详解】（1）（1）是，
理由：是首项为1，公比为的等比数列，
可得，，
则，
可得数列与接近.
（2）（2）与 “接近”，，
，
由于,其中,
互不相等，有3个元素.
（3）与“接近”，
，
是公差为的等差数列，，
①当时，则，此时中无正数；
②当时，存在，
满足：，即与“接近”，
满足：，
即这100个都为正数；
综上，的取值范围是.