北京市清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了已知集合，，则，如图，在中，是的中点.若，，则，已知抛物线上一动点P，则P到点，在中，“”是“为钝角”的，已知无穷数列满足等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则
A．B．C．D．
C
4．如图，在中，是的中点.若，，则（ ）
A． B．
C． D．
5.设函数,则满足的的取值范围是( ).
A． B． C． D．
6．已知抛物线上一动点P，则P到点（2 ，0）和点（4 ，1）的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
7．在中，“”是“为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.设圆的半径为，其一条弦，为圆上任意一点，
则的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．4
9.已知函数，且是的极小值点，则可以是（ ）
A．B．C．D．
10.设集合，，，中至少有两个元素，且满足：
①对于任意，若，都有
②对于任意，若，则；
下列命题正确的是（ ）
A. 若有4个元素，则有7个元素
B. 若有4个元素，则有6个元素
C. 若有3个元素，则有5个元素
D. 若有3个元素，则有4个元素
11．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ．
12. 已知为等差数列，为其前项和.若，则________
13．若直线与交于两点，写出满足“”的的一个值 .
14．已知空间A、、、四点中任意两点间的距离都等于，则点A到平面的距离为 .
15．已知无穷数列满足：对任意，有，且.给出下列四个结论：
①存在无穷多个，使得；
②存在，对任意，有；
③对任意，有；
④对任意，存在互不相同的，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
16.（13分）已知函数，且的最小正周期为.
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，当时，求函数的值域.
17．（13分）在中，已知，
(1)求；
(2)的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
①；②；③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）解：因为，
由正弦定理可得，……..1分
所以，
又，……..2分
即，……..3分
又，……..4分
所以，即又……..5分
，……..6分
所以；……..7分
解：若选①，由，所以不存在，则不存在，故不能选①；
若选②，由，则为等边三角形，……..9分
因的周长为9，故三边均为3，三角形存在且唯一确定，……分
所以；……分
若选③，即，，
所以，由余弦定理，……..8分
即，又，
所以、，……分
所以，即，……分
此时三角形存在且唯一确定，
所以.……分
18．（14分）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA的中点，，四边形PDCE为矩形.
(1)求证：平面DEF；
(2)求二面角的余弦值.
19. （15分）已知椭圆的短轴长为，右焦点为F，直线l：与x轴交于点A，且. 过点A的直线与椭圆交于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点P且平行于y轴的直线交椭圆于另一点M，求面积的最大值．
20. （15分）已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数．
(1) 当时求的解析式；
(2)当时，判断函数的单调性并说明理由；
(3)若a满足当时，总有成立，则称实数a为函数的一个“Q点”，求函数的所有Q点．
21．（15分）已知有穷数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．
(1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
(2)数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；
(3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．
参考答案
1．【详解】，. 故选：A.
2．【详解】因为对应点为,所以, 即得. 故选：D.
3．【答案】C
4．【详解】因为是的中点，，，
所以. 故选：C.
5.【答案】A
6．【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，∴点P到准线的距离等于点P到焦点的距离PF， ∴当三点共线，和最小为6故选：D．
7．【详解】为钝角三角形.
∴在ΔABC中，“”是“为钝角”的必要不充分条件.故选：B.
8.【答案】D 如右图，根据数量积的几何意义
答案最大值为4，最小值为-20
9.【详解】对于A，，
，当时，，所以；
当时，，所以，
所以不是的极值点，故A错误；
对于B，，，
，当时，，，所以；
当时，，，所以，
所以不是的极值点，故B错误；
对于C，，，
，当时，；
当时，，所以是的极小值点，故C正确；
对于D，，，
，当时，；当时，，
所以是的极大值点，故D错误. 故选：C.
10.【解析】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项；
下面来说明选项的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
11．【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上，
故可设双曲线方程为：，则即，
故即，故离心率为，渐近线方程为，
故答案为：；.
12. 【答案】100
13．【详解】直线，则，令，解得，
所以直线恒过点，的圆心为，半径，
为等边三角形, 故答案为：
14．【答案】 边长为1的正方体对角线的三分之二
15．【详解】设，，则，.
如果，则，故，从而.
这意味着任意连续两个自然数中必有一个属于，所以一定是无限集，故①正确；
注意到数列，满足全部条件，这里是斐波那契数列，
这能够得到以及，从而.
假设此时有，，则即对任意成立，这显然不可能，故②错误；
设，，若，则；
若，则.
任一情况都有，故③正确；
由③的过程还可以得到：或.
这意味着可以适当选取使得，
从而，故④正确.
故答案为：①③④.
16.【详解】（1），……..4分
，， ……..5分
从而：，令，
得，……..7分
的单调减区间为． ……..8分
（2）， ……分
，， ……分
，……分
则，
所以函数的值域是．……分
17．（1）解：因为，
由正弦定理可得，……..1分
所以，
又，……..2分
即，……..3分
又，……..4分
所以，即又……..5分
，……..6分
所以；……..7分
解：若选①，由，所以不存在，则不存在，故不能选①；
若选②，由，则为等边三角形，……..9分
因的周长为9，故三边均为3，三角形存在且唯一确定，……分
所以；……分
若选③，即，，
所以，由余弦定理，……..8分
即，又，
所以、，……分
所以，即，……分
此时三角形存在且唯一确定，
所以.……分
18．【详解】（1）因为四边形PDCE为矩形，所以N为PC的中点，连接FN，

在中，F、N分别为PA、PC的中点，所以，……..1分
因为平面DEF，平面DEF，……..3分
所以平面DEF；……..4分
（2）因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，又AD、DC在平面ABCD内，
所以，
又，所以，……..5分
如图以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

则，
所以，……..6分
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，
则，即，……..7分
解得，令，则，
所以平面PBC的一个法向量为，……..8分
设平面ABP的法向量为，
，……..9分
令，则，
所以平面ABP的一个法向量为，……分
，……分
因为二面角的平面角是钝角，……分
所以二面角的平面角余弦值为，……分
19. （1）由题意，，则，……..1分
，则，则，由，……..3分
则，……..4分
所以椭圆的方程为；……..5分
（2）联立+韦达……..6分
判别式……..7分
∴面积，……分
……分
当且仅当，即时取等号，满足，
∴面积的最大值．……分
20. （1），
……..1分
当时，……..2分 ，，……..3分
故在处的切线方程为：，
即， ；……..4分
（2）由（1）知：

，

……..5分
令，
则，……..6分
令，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故……..7分


，
，，
即恒成立，即恒成立，
即在上单调递增，……..8分
又，……..9分
故当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；在上单调递增；……分
（3）当时，总有成立，
故与同号， 即当时，，当时，，……分
又，
由（2）知：，
，
若，即时，
则存在使得时，，，，
单调递减，，不合题意；……分
若，即或时，
则存在使得时，，，
，单调递减，，不合题意；……分
所以，即或，
当时，，
，不合题意；……分
当时，，
此时，
当时，，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，单调递增，符合题意；
故的所有Q点为.……分
21．（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，……..2分
理由如下：
数列①：因为，所以数列①不是完全数列；
数列②：因为，
，
即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列. ……..4分
（2）假设存在完全数列，其长度为，则，
则长度为的数列的每一子列的所有项的和有个，……..5分
设其所有项的和的最小值为，最大值为，
则，
可得，
整理得，……..6分
当时，；
当时，；
当时，；……..7分
当，则，，
所以；
综上所述：当时，不存在，使得成立. ……..8分
所以假设不成立，则，且，符合题意，……..9分
所以m的最大值为6.
（3）因为长度，且为完全数列，且，
可知的最小值为1，的最小值为2，取；……分
因为，则的最小值为4，取；……分
因为，则的最小值为8，取；……分
因为，
，
则的最小值为16，取；……分
此时均取到对应的最小值，则均取到对应的最大值，……分
则，
所以的最大值为.……分