安徽省合肥市第七中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份安徽省合肥市第七中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知、、，则下列结论中正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．若是奇函数，且在上是增函数，，则的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数与函数是同一个函数
C．若幂函数在区间上单调递减，则
D．函数的零点是
10．已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知函数，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．0B．
C．的最小值为D．
三、填空题
12．已知函数是奇函数，则实数的值为 ．
13．已知正实数满足，则的最小值为 .
14．已知，则 ．
四、解答题
15．已知，
求的值；
若是第三象限角，求的值．
16．在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为.
（1）若，求点的坐标；
（2）若，求的值.
17．指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
18．已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
19．已知函数，.
（1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.
（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】，则.
故选C.
2．【正确答案】B
【详解】先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.
【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即
所以弧长为，则
这个扇形的面积为
故选B
3．【正确答案】B
【详解】若，取，，但是无意义，
所以由“”推不出“”，
若“”，则，所以可得，
所以由“”可推出“ “，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
4．【正确答案】C
【详解】直接利用诱导公式进行化简计算即可得解.
【详解】
.
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错；
对于B选项，因为，则，，，
则，即，B对；
对于C选项，因为，则，
则，即，C错；
对于D选项，因为，当时，，D错.
故选B.
6．【正确答案】D
【详解】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】，，，
∴，
故选D
7．【正确答案】D
【详解】∵是R上的奇函数，且在内是增函数.∴在内也是增函数，又
，，.当时，；时，；或可解得或，∴不等式的解集是.
故选D.
8．【正确答案】B
【详解】由条件得，，，在上递增.
由得，
则或．
故选B．
9．【正确答案】BC
【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同，
故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确，
对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减，
所以，得到，故选项C正确，
对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误，
故选BC.
10．【正确答案】ABD
【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确.
由，得，则B，D正确.
由，得，解得，则错误.
故选ABD
11．【正确答案】ABD
【详解】
作出函数的图象，
因是方程的四个互不相等的解，则，A选项正确；
因为，
则有，是方程的两个根，必有，
因为，所以，所以，所以，B选项正确；
，
因为，且，
所以，C选项错误；
，是方程的两个不等根，则，即，所以，
整理得，，即，
于是得，D选项正确；
故选ABD.
12．【正确答案】
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
由是奇函数，得，解得，即，
由于，即函数是奇函数，所以．
13．【正确答案】
【详解】由且，
所以，
当且仅当，即时取等号.
14．【正确答案】
【详解】由题意得
.
15．【正确答案】（1）8；（2）.
【详解】因为，所以
由得，
又，故，即
因为是第三象限角，，所以．
16．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】由条件可知，并且，，再根据诱导公式求，根据三角函数的定义求得点的坐标；（2）根据（1）的结果代入求得，并且，再根据同角三角函数关系式求.
【详解】解：因为角的终边与单位圆交于点，所以，．
因为角的终边顺时针旋转后得到角，所以，
.
（1）当时，因为角的终边与单位圆的交点为，
所以点的坐标为.
（2）因为，，所以，即．
因为，所以．
17．【正确答案】（1）
（2）当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）当时，，
由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且
从而，
即在上的最大值为240；
当时，，
因为，
当且仅当，即时，不等式取等号，
从而，
即当时，有最大值270，
此时肥料费用.
综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
18．【正确答案】（1）见详解；（2）；（3）存在，.
【详解】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；
（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；
（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.
【详解】解：（1）证明：因为，又
，
即，
所以为偶函数.
（2）原题意等价于方程无解，
即方程无解.
令，
因为，
显然，
于是，即函数的值域是.
因此当时满足题意.
所以a的取值范围是.
（3）由题意，.
令，则.
则，.
①当时，，
，解得；
②当时，
，解得（舍去）；
③当时，
，解得（舍去）.
综上，存在，使得最小值为0.
19．【正确答案】（1）或或；（2）或.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，，故，
要使对任意，，不等式恒成立，只需，
所以，即.
记，因为，所以只需，即，
解得或或.
故的取值范围为或或.
（2）当时，；
当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以函数在上的值域为.
因为对任意，总存在唯一，使得成立.
故，且对任意，总存在唯一，使得成立，
以下分三种情况讨论：
①当，即时，则，解得；
②当，即时，则，解得；
③当，即时，或，
所以，
综上，的取值范围为或.