四川省遂宁市2026届高三上学期一诊考试（遂宁高考一诊）数学试题及答案

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本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.总分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，满分 58 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡
上.并检查条形码粘贴是否正确.
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签
字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．考试结束后，将答题卡收回.
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，通过移项计算得出复数 .
【详解】由 ，得 .
故选：C.
2. 已知平面向量 与 平行，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标表示可求答案.
【详解】因为 与 平行，所以 ，解得 .
故选：A
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3. 已知集合 ， ， ，且 ，则集合 中元素个数
有（ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集和并集的定义求解即可.
【详解】 ，则 ，
所以集合 中元素个数有 个.
故选：D.
4. 二项式 展开式中，含 项系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求 项的系数．
【详解】由于二项式 ，
则其通项 ，
令 ，则 ，
则 ，
所以含 项系数为 .
故选：B
5. 求以抛物线 的焦点 为圆心， 到直线 的距离为半径的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】由题知 ，再根据点到直线的距离公式得 ，最后再求解圆的标准方程即可.
【详解】由题知抛物线 的焦点坐标为 ，
所以 到直线 的距离为 ,
所以，所求圆的圆心为 ，半径为 ，
所以圆的标准方程为 .
故选：A
6. 记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】B
【解析】
【分析】把题干所给条件转化为 的方程组，解方程组即可得出答案.
【详解】设等比数列的公比为 ，当 时， ，所以 .
由题意可得 ，解得 或 ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， .
故选：B
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知 ，再根据二倍角公式求解即可.
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【详解】因为 ，所以 ，
所以
故选：B
8. 将函数 （ 且 ）的图象向左平移 个单位长度，再向上平移
( ）个单位长度后得到函数 的图象，若方程 对任意的 都无解，则 的值不能为
（ ）
A. 5 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】 无解，设 ， 且
，分 ， ， 三种情况，结合辅助角公
式得到故 的值域为 ，所以 或 ，得到答案.
【详解】 ， 且 ，
对任意的 都无解，即 无解，
设 ， 且 ，
当 时，
，
当 时， ，
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当 时，
，
故 的值域为 ，所以 或 .
故 的值不能为 2.
故选：C
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于 B，由 可判断选项正误；对于 C，
通过举特例可判断选项正误；对于 D，由作差法可判断选项正误.
【详解】对于 A，因 ，由不等式同向可加性可得 ，故 A 正确；
对于 B，因 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，当 ， 时， ，故 C 错误；
对于 D， ，
因 ，则 ，
从而 ，故 D 正确.
故选：ABD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于点 成中心对称
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B. 当 时， 有两个极值点
C. 对于任意 有三个零点
D. 当 时， 在 上存在最大值
【答案】AC
【解析】
【分析】计算 即可判断 A，求导得 ，令 ，即 ，求判别式
即可判断 B，先判断 的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断 C，先判断 在 上的单调
性即可判断 D.
【详解】对于 A：
，
所以 的图象关于点 成中心对称，故 A 正确；
对于 B： ，令 ，即 ，
所以 ，
所以当 时，方程 有两个根，即 有两个极值点，故 B 错误；
对于 C：由 ，解得 ，
显然当 时， ，
由 有： 或 ，由 有： ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又 ，
当 ，所以对于任意 有三个零点，故 C 正确；
对于 D：当 时， 在 单调递减，又 ，
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所以 在 单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故 D 错误；
故选：AC.
11. 已知圆 经过椭圆 的左、右两个焦点 ． 为 的右顶点，
为 与 在 轴上方的公共点，且 的面积为 2，点 为 上与点 不重合的动点，直线 与
轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，则（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B. 坐标原点 O 到直线 AB 的距离为
C. 面积的最大值为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再根据椭圆的性质结合离心率公式、点到直线距离公式、椭圆的
参数方程分析判断选项正误．
【详解】
圆 经过椭圆 的左、右两个焦点 ，设 ，
，解得 ，
的面积为 2， ，解得 ，
在圆 上， ，解得 ，故 ，
在椭圆 上，
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，解得 ， ，
椭圆 的方程为：
选项 A： ， ，故 A 错误；
选项 B： ，
直线 的方程为 ，一般式为 ，
原点到直线 的距离为 ，故 B 正确；
选项 C： ， ，
是椭圆上点， ，
，故 C 正确；
选项 D：设 ，则直线 方程为 ，令 ，得 ，故
，
直线 过 ，方程为 ，令 ，得 ，
故 ，
， ，
，
椭圆方程 ，令 ，
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则 ，
，
，
令 ，则 ，
，
，即 ，
，
，故 D 正确．
故选：BCD．
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上.
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. ________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得．
【详解】 .
故答案为：4
13. 在三棱锥 中， 平面 ， 是以 为斜边 等腰直角三角形，
，则三棱锥 的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______.
【答案】 ##
【解析】
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【分析】取 的中点 ，连接 ，证得 平面 ，得到 ，利用直角三角形的性
质，得到 ，即 为三棱锥 的外接球的球心，设三棱锥 的外接球的
半径为 ，得到 ，结合球的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
在直角 中，可得 ，在直角 中，可得 ，
所以 ，即 为三棱锥 的外接球的球心，
在直角 中， ，可得 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，则 ，
所以三棱锥 的外接球体积为 .
故答案为： .
14. 已知定义在 上的函数 ，其导函数 满足 ，且 ，若函数
存在极大值，且极大值为 ，则 的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据 可得 （ 为常数），从而可求出函数 的解析式，
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进而可求出 的解析式，再利用导数分 和 两种情况讨论求出函数 的极大值，再结合已
知构造关于 的函数，再利用导数即可得解.
【详解】由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 （ 为常数），
又 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
当 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所以 无极大值；
当 时，令 ，
因为函数 在 上都是减函数，
所以函数 在 上是减函数，
又当 时， ，当 时， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ， ，所以 ，
则当 时， ，当 时， ，
即当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
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所以 的极大值为
，
所以 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 的最小值是 .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
15. 在 中，角 所对的边分别为 .其中
（1）当 为锐角三角形，且 ，求 的面积 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）14 （2）8
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理求出 ，结合和角公式求出 ，再利用面积公式可求答案；
（2）化切为弦，可得 ，利用余弦定理可求答案.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，由正弦定理 ，
因为 B 为锐角，则 ，
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则 .
.
【小问 2 详解】
由 化简得： ；
，因为 ，所以 ，所以 ；
由余弦定理 ，代入 ， ， ，可以解得 或 （舍去），
故 .
16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，
肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产
业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
销量 （万台） 2 3 5 2.5 8 9
（1）求这种品牌制氧机的销量 关于年份代码 的线性回归方程，并预测 2027 年这种品牌制氧机的销量；
（2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随
机抽取了男生和女生各 100 名，得到如下 列联表：
制氧机知识
学生 合计
了解 不了解
男生 20
女生 40
合计
（ⅰ）根据已知条件，填写 列联表；
（ⅱ）根据小概率值 的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联；
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（3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取 10 人，再从这 10 人中随机
抽取 4 人做某项调查，记这 4 人中对制氧机知识不了解的人数为 ，试求 的分布列和数学期望.
附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） ，12.4 万台
（2）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）有关联，理由见解析；
（3）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）计算出 ，得到线性回归方程，代入 ，从而预测 2027 年这种品牌制氧机的销量；
（2）（ⅰ）补全 列联表；（ⅱ）计算出 ，从而得到结论；
（3）求出 的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望.
【小问 1 详解】
年份代码 的平均数 ，销量 的平均数 ，
所以 ，
，
所以 ，
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所以 ，
所以这个地区某品牌制氧机的销量 关于年份代码 的线性回归方程为 ，
由于 2027 年对应的年份代码为 ，得 ，
所以预测 2027 年这个地区某品牌制氧机的销量约为 12.4 万台．
【小问 2 详解】
（ⅰ）根据男生和女生各 100 名，补全 列联表为：
制氧机知识
学生 合计
了解 不了解
男生 80 20 100
女生 40 60 100
合计 120 80 200
（ⅱ）零假设 ：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关.
根据（ⅰ）中的 列联表中的数据可得，
.
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005.
【小问 3 详解】
从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取 10 人，
则抽取的 10 人中，了解的人数为 6 人，不了解的人数为 4 人
再随机从中抽取 4 人，对制氧机知识不了解的人数 的所有可能取值为 0，1，2，3，4.
且 ，
，
，
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则 的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望为
17. 如图，在三棱柱 中， ，点 在平面 上的射影为 的中点
（1）证明： ；
（2）若 ， 求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 为 的中点，证得 ，再由 平面 ，证得 ，
利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，得到 ，结合 ，即可证得
.
（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的法向量
和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问 1 详解】
证明：如图所示，连接 ，因为 为 的中点， ，所以 ，
因为点 在平面 上的射影为 的中点，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
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因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
解：由（1）知 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，由 ，则 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
且 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 与平面 夹角的大小为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 .
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18. 已知双曲线 分别是 的左、右焦点． 在直线 上，
且 到其中一条渐近线的距离为 .抛物线 ： 上的一个动点 到 的距离与点
到 的准线的距离之和的最小值为 .
（1）求 的方程和 的方程；
（2）若过 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与 交于 两点.问是否存在常数 ，使得
为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ，
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由直线 与 轴的交点，可得 ，由 到渐近线距离可得 ，据此
可得双曲线方程；设 为抛物线 的焦点，由 可得抛物线方程；
（2）假设存在常数 满足条件，设直线 ，将 与双曲线方程联立，由韦
达定理及题设可得 ，设 ，将 代入抛物线方程 ，由韦
达定理及题设可得 ，则 ，据此可得答案.
【小问 1 详解】
因为直线 与 轴的交点为 ，所以点 的坐标为 ，半焦距 ，
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又双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，由点到直线的距离公式得到点 到
其中一条渐近线的距离为 ，所以 ，则 ，又 ，所
以双曲线 的方程为
又设 为抛物线 的焦点，则 ，如图，已知 ， 为 到准线的距离且 为垂足，则
，
当且仅当 三点共线且 在 之间时等号成立，所以 ，解得 ，因为
，所以 ，故抛物线 的方程为
【小问 2 详解】
假设存在常数 满足条件，由（1）知 ，
设直线 ，
联立方程得 ，消去 ，整理可得 ，
所以 ， ，
．
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因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，所以 两点在 轴同侧，所以 ．
此时 ，即 ，所以 ．
设 ，将 代入抛物线方程 ，得 ，
则 ，
所以
．
所以 ．
故当 时， 为定值 ，所以，当 时， 为定值
19. 已知函数 ，记 为函数 在定义域内的导函数.
（1）求函数 在 上的最小值.
（2）设 ，记 的最小值为 .
（ⅰ）当 时，求使 恒成立的实数 的最小正整数 ；
（ⅱ）当 时，设 ，求函数 在区间 上的零点个数.
【答案】（1）0 （2）（ⅰ）2；（ⅱ）101 个.
【解析】
分析】（1）先求导得 ，设 ，利用导数研究单调性进而求解；
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（2）（ⅰ）由 ，令 ，则 ，则 ，
设 ，利用导数研究单调性得函数 取最小值，进而得 最小值 ，
设 ， ，利用导数求 最值，进而得 在 上恒成立，最
后结合等比数列前 项和公式即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，则 ，进而得 ，得 ，求函数 的周期，
利用导数研究函数的单调性结合零点存在定理，结合函数的周期性即可求解.
【小问 1 详解】
由 ， 且 ；
， ；设 ，
因为 ，所以 在 上单增，即 单增，
又因为 ，所以 时 ， 单减，
时 ， 单增；
所以 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，令 ，则 ， ，
则 ，设 ， ，
则 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，所以 ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，又 ，所以 ，所以 ，所以函数 在 上单
调递增，
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所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，所以 最小值为 ，所以
，
设 ， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，所以 ，
故 在 上恒成立，
；
又因为 ，
对任意 ， 恒成立时 ，
所以 的最小正整数值 ；
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，则 ， ，即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以函数 为周期函数， 为函数 的周期，
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ， ，
函数 在 上没有零点，
当 时， ， ，所以 ，
函数 在 上没有零点，
第 22页/共 23页
当 时， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，故函数 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 ， ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点，在 上不存在零点，
又因为 ，故 在 上有 2 个零点，
结合函数的周期性可得函数 在 上的零点个数为 101 个.
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