北京市海淀区2026届高三上学期期末统一检测数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，则
A.B.C.D.
【答案】B
2.复数的共轭复数为，则
A.-1B.1C.-2D.2
【答案】C
3.直线经过圆的圆心，则的值为
A.-1B.-2C.-3D.-4
【答案】B
4.在的展开式中存在常数项，则的最小值为
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
5.双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点(1，2)，则该双曲线的方程可以为
A.B.C.D.
【答案】D
6.已知点，点，当变化时，的最小值为
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
7.已知非零向量满足,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
8.在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是

A.点可以在点处
B.点在底面上的轨迹为线段
C.点的轨迹是直角三角形
D.直线与点的轨迹所在平面相交
【答案】D
9.若函数满足对任意的，都有，则可以是
A.B.
C.D.
【答案】B
10.已知数列满足对任意成立.数列为周期数列,即存在,使得对任意成立.给出下列两个结论:
①对任意,存在,使得为递增数列;
②对任意，存在，使得为等差数列.
则下列判断正确的是
A.①②都正确B.①正确，②错误C.①②都错误D.①错误，②正确
【答案】D
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.已知等比数列的前项和为，且，则________.
【答案】-2
12.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为_____；点在上，且，则_______.
【答案】 3
13.在中，是边上的中线.且，，的面积为，则_____，________.
【答案】
14.已知函数
(i)若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为_____；
(ii)若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为________.
【答案】2（答案不唯一）
15.已知曲线，给出以下四个结论:
①曲线是轴对称图形;
②曲线不经过整点(即横、纵坐标均为整数的点);
③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积;
④曲线与直线有公共点.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①③
三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.在中,为锐角,.
(I)求;
(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长.
条件①:;
条件②:;
条件③:.
注:如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分 .
【解析】(I)在中,由正弦定理,所以.因为,所以.又,所以,因为为锐角,所以.
(II)选择条件①:.
由(I)得,所以,由余弦定理得.
所以(舍).所以的周长为40.
选择条件③:由余弦定理,得.所以所以,所以,所以的周长为40 .
17.如图,在五面体中,底面为正方形,,为的中点.
(I)求证:平面;
(II)若平面平面,求平面与平面所成角的余弦值.
【解析】(I)连接,与相交于点,连接.
在中，为中点，
又因为为中点,
所以为中位线,
所以.
又因为,
所以,
所以四边形为平行四边形,
所以.
又因为平面平面,
所以平面.
法二:
取中点,连接
在中，为中点，为中点，
所以为中位线，
所以,
所以
又因为,
所以,
所以四边形为平行四边形,
所以.
又,
所以平面.
又因为平面,
所以平面.
(II)因为为中点,
所以,
因为平面平面,平面,
平面平面,
所以平面,
所以,
又,
如图建立空间直角坐标系.
则,
设平面的法向量为,
所以,
即,
令,所以,即
又因为平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面,
所以平面的法向量为，
设平面与平面所成角为,
所以.
所以平面与平面所成角的余弦值为 .
18.某科技公司统计了过去连续30个月A、B两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表:
为了更好地支持自主研发,该公司计划给A小组长期租赁台专用服务器,给B小组长期租赁台专用服务器.
假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立.用频率估计概率.
(I)估计A小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率;
(II)若，在未来的某个月，为满足A小组的需求，该公司还需要为A小组临时租赁台专用服务器.特别地,当该月不需要为A小组临时租赁专用服务器时,记.估计的数学期望;
(Ⅲ)经公司讨论，有以下三种备选租赁方案:
方案一:;
方案二:;
方案三:.
在未来的某个月,为满足这两个小组各自的需求,一共还需要临时租赁台专用服务器.特别地,当该月不需要临时租赁专用服务器时,记.在上述三种方案中,的数学期望估计值最小的方案是哪种?(结论不要求证明)
【解析】
(I)根据题中数据，在30天数据中，
小组所需专用服务器不超过14天的天数为,故小组某天所需专用服务器不超过14台的概率可估计为.
(II)随机变量的所有可能取值集合为根据题中数据,可估计为,
可估计为
可估计为,
可估计为
因为
所以可估计为
(III)方案三的数学期望最小 .
19.已知椭圆的左顶点为,请从下面条件中任选两个作为已知.
条件①:椭圆的离心率为;
条件②:椭圆经过点;
条件③:点到椭圆的左焦点的距离为1.
(I)求椭圆的方程;
(II)过点的直线与椭圆的另一个交点为与轴交于点.过点作的垂线交直线于点.若是等腰直角三角形,求的斜率.
【解析】(I)选择①②
由题意得解得.所以椭圆的方程为.
(II)因为,
设直线的方程为.
由得.
所以.
因为,
所以.
因为直线的方程为.
所以,
因为是等腰直角三角形,
所以,
即
所以,
解得 .
20.已知函数
(I)当时,求曲线在点处的切线在轴上的截距;
(II)若函数在上单调递增,求的值;
(III)若函数在处取得极小值,求的取值范围.
【解析】(I)当时,当时,,所以,又,曲线在点处的切线为,令,得,曲线在点处的切线在轴上的截距为17.
(II)因为函数在处连续,所以在上单调递增等价于在和上单调递增.
因为
当时,恒成立,
所以,
所以.
当恒成立,
所以,
所以.
所以的值是0.
(III)当时,根据(II),函数无极值点,不合题意.
当时,
令,得到(舍)
所以的变化情况如下表
因为,
所以.
当时,令,
即,得到(舍)
所以的变化情况如下表
所以,
所以,
综上,当时,,
当时, .
21.对有穷数列,用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换将数列变换成数列.
对有穷数列,令数列.
若,则称为阶完美数列.
(I)写出所有的2阶完美数列;
(II)若数列为3阶完美数列,求集合的元素个数;
(III)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由.
【解析】(I)2阶完美数列有4个，分别为3，1；3，2；1，3；2，3.
(II)设.
依题意,.
不妨设,则,即.
若,则,所以.
所以.
若,则,所以.
所以.
构造:当为1,6,4时,符合.
所以的元素个数为1.
(III)不存在16阶完美数列.
假设存在16阶完美数列.
设,设,
用表示中的最大值,用表示中的最小值,
则,
其中.
所以,其中为1,2之一.
设,则.
同理,,其中为1,2,3之一.
设,则.
重复上述过程,则.
所以.
因为,
所以.
所以.
不妨设,
则当时,.
设,对进行类似于的研究:
则有,其中.
同理,,
其中当时,.
所以.
因为,
所以.
所以,
又,矛盾.
所以假设不成立.
所以不存在16阶完美数列 .A小组所需专用服务器台数
11
12
13
14
15
16
17
月数
1
1
2
3
18
4
1
B小组所需专用服务器台数
6
8
10
12
14
16
18
月数
1
2
6
11
6
2
2
0
(0,+∞)
+
0
-
无定义
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
0
+
无定义
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗