河北省沧州市十二校2026届高三上学期1月一模考试数学试卷（附参考答案）

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题目要求的.
1. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 依次成等差数列， 依次成等比数列，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
4. 将 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ）
A 72 B. 84 C. 96 D. 108
5. 已知正项等差数列 的公差为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 一个底面边长和侧棱长均为 4 的正三棱柱密闭容器 ，其中盛有一定体积的水，当底面
水平放置时，水面高为 .当侧面 水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何
体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A B. C. D.
7. 如图，在函数 的部分图象中，若 ，则点 的纵坐标为（ ）
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A. B. C. D.
8. 设 A，B 是半径为 3 的球体 O 表面上两定点，且 ，球体 O 表面上动点 P 满足
，则点 P 的轨迹长度为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若函数 的图象经过第二、三、四象限，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数 满足：对任意 ，且当 时， .下列说
法正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 当 时，
D. 在 上单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标 X 可以看作一个随机变量，且 ，对于
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的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为 0.05，现从这批零件中随机抽取 500 个，用 Y 表示
这 500 个零件的规格指标 X 位于区间 的个数，则随机变量 Y 的方差是________.
13. 在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若
（m 为常数），则 CD 长度是________．
14. 设 F 为双曲线 的右焦点，A，B 分别为双曲线 E 的左右顶点，点 P 为双曲
线 E 上异于 A，B 的动点，直线 l：x＝t 使得过 F 作直线 AP 的垂线交直线 l 于点 Q 时总有 B，P，Q 三点共
线，则 的最大值为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 函数 是定义在 R 上的奇函数，且 .
(1)求 a，b 的值；
(2)判断并证明 在 的单调性.
16. 如图，四棱锥 P-ABCD 底面为正方形，PD⊥平面 ABCD,PD=AD,点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点），
点 N 在线段 BD 上，且 PM=DN.
（1）求证：直线 MN∥平面 PCD.
（2）若点 M 为线段 PA 的中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成角的余弦值.
17. 已知 为数列 的前 项和，且 .
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（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的表达式及最大值.
18. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 . ， 是 的左、右焦点.
（1）求 的标准方程；
（2）过 的直线与 交于 ， 两点.若 的内切圆半径为 ， ，求 的值.
19. 已知函数 ， ， .
（1）若曲线 在点 的切线也是曲线 的切线，求 的值；
（2）讨论函数 在区间 上的单调性；
（3）若 对任意 恒成立，求 取值范围.
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