河北省沧州市联考2024届高三上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

这是一份河北省沧州市联考2024届高三上学期1月期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了已知，则“”的充要条件为，直线与曲线的公共点的个数为，15等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
3.已知向量满足，，则（ ）
A.2B.1C.D.
4.已知，则“”的充要条件为（ ）
A.B.C.D.
5.已知椭圆的左焦点为F，M，N为上关于坐标原点对称的两个点，若的周长为22，则（ ）
A.4B.5C.8D.10
6.某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（ ）
A.18B.27C.36D.45
7.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.直线与曲线的公共点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A.该班数学成绩的极差大于40
B.该班数学成绩不低于115分的频率为0.15
C.该班数学成绩在内的学生比在外的学生少
D.估计该班数学成绩的分位数为97.5
10.已知函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A.
B.
C.在上单调递减
D.的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数
11.已知函数满足（为的导函数），且在处的切线倾斜角小于，则（ ）
A.B.
C.有且仅有1个零点D.有且仅有1个极值点
12.已知抛物线的焦点为，准线为l，A是上除坐标原点以外的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为2B.若点落在上，则的横坐标为2
C.四边形为菱形D.，，成等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，数列的前项和为，则_________.
14.若正数a，b满足，则的最小值是_________.
15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为_________.
16.已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________.
四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知在等差数列中，，.
（I）求的通项公式；
（II）若是等比数列，且，，求数列的前项和.
18.（12分）
在中，.
（I）求；
（II）若，点在边上，平分，求的长.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为棱的中点，点在棱上.
（I）证明：平面平面；
（II）若Q为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
20，（12分）
一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
（I）求第4次闪光为红光的概率；
（II）求第次闪光为红光的概率.
21.（12分）
已知双曲线是关于轴和轴均对称的等轴双曲线，且经过点.
（I）求的方程；
（II）若是上一动点，直线与交于B，C两点，证明：的面积为定值.
22.（12分）
已知函数.
（I）设且，求在区间内的单调递减区间（用表示）；
（II）若，函数有且仅有2个零点，求的值.
沧衡名校联盟高三年级2023—2024学年上学期期末联考
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BD10.AC11.BCD12.ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.14.215.16.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
17.解析（I）设的公应为.
由得，解得
所以.
（II）由（I）可知，，则，.
因为是等比数列，所以公比为，
所以，所以.
所以.
18.解析记内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（I）因为，
所以，
由正弦定理得，故由余弦定理可得，
因为，所以.
（II）因为平分，所以，
因为，所以，所以，
所以，
即，所以.
19.解析（I）如图，连接.
由已知可得为正三角形，又为的中点，所以.
因为平面，所以.因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（II）由已知得，所以两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
设，则，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则可取.
设直线与平面所成的角为，
则.
20.解析（I）由题意，前4次闪光的顺序为“红共蓝红”或“红蓝黄红”，
所以.
（I）设事件表示“第n次闪光为红光”，事件表示“第n次闪光为黄光”，事件表示“第n次闪光为蓝光”，且，，则，
由题意知，当时，，
即，整理得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
故，即第次闪红光的概率为.
21.解析（I）因为是关于轴和轴均对称的等轴双曲线，故可设其方程为，
又经过点，所以，
所以的方程为，即.
（II）因为在上，所以.
联立方程得消去整理可得，
将代入，可得.
所以.
设，，则，，
所以.
点到直线的距离为，
所以的面积为，
所以的面积为定值.
22.解析（I），
由，得，当时，，所以，即，
当时，，当或时，，
所以在区间内的单调递减区间为.
（II）依题意，，定义域是.
（i）当时，有.
当时，，，所以；
当时，由知在单调递增，在单调递减，
又，所以，又，所以.
所以在总有唯一的零点.
（ii）当时，有，，.
若，有，当且仅当时两个不等号中的等号同时成立，
可知在有且仅有1个零点1，符合题意.
若，有在单调递增，.
①若，则当时，有；
②若，又，则可知，使得.
由①②，可知在单调递减，所以，
又当时，，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意.
若，有在单调递增，又，，
则可知，使得，且在单调递增，则有，
又当时，，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意.综上可知，.