2025-2026学年江苏省南京一中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省南京一中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案+解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为10m时，这水波面的圆面积的膨胀率为( )
A. 40m2/sB. 20m2/sC. 40πm2/sD. 20πm2/s
2.若直线l：x+y−m=0(m>0)被圆C：(x−1)2+(y+1)2=4截得的弦长为2 2，则m=( )
A. ±2B. 2C. 2D. 2 2
3.已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12，则2a8−a9=( )
A. −3B. 3C. −12D. 12
4.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2=2px两边同时对x求导，得2yy′=2p，则y′=py，所以过点P的切线的斜率k=py0，试用上述方法求出双曲线x2−y22=1在P( 2, 2)处的切线方程为( )
A. 2x−y=0B. 2x−y− 2=0
C. 2x−3y− 2=0D. x−y− 2=0
5.已知点P在椭圆x29+y23=1上运动，点Q在圆(x−1)2+y2=58上运动，则|PQ|的最小值为( )
A. 2B. 102C. 2− 104D. 104
6.已知函数f(x)=ex(x2−bx)(b∈R)在区间[12,2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是( )
A. −∞,83B. −∞,56C. −32,56D. 83,+∞
7.已知函数f(x)的定义域为(−π2,π2)，其导函数是f′(x)，且满足f′(x)csx+f(x)sinx0成立．
f′x=exx2+2−bx−b，
令hx=x2+2−bx−b，
设hx>0的解集为Ω，由题意易知：12,2∩Ω≠⌀;
由Δ=2−b2+4b=b2+4>0，
易知Ω={x|xb−2+ b2+42}，
当12,2∩Ω=⌀时，
易知：b−2− b2+42≤12且b−2+ b2+42≥2，
解得：b≥83.
故12,2∩Ω≠⌀时，b0即ax2+(2a+1)x+3≥0在x∈[−2,2]上恒成立； …(9分)
令g(x)=ax2+(2a+1)x+3，∵a>0，对称轴x=−1−12a0,b>0)，
此时c=2，2a=2 3，
解得a= 3，b=1，c=2，
则曲线C方程为x23−y2=1；
(2)设直线l的方程为x=my−2，A(x1,y1)，B(x2,y2)(y1>0)，
联立x=my−2x23−y2=1，消去x并整理得(m2−3)y2−4my+1=0，
此时Δ=16m2−4(m2−3)>0，
由韦达定理得y1+y2=4mm2−3，y1y2=1m2−3，
因为BF1=5F1A，
所以y2=−5y1
解得m=− 22(舍去)或m= 22，
则直线l方程为x= 22y−2；
(3)证明：直线BF2:y=y2x2−2(x−2)，
令y=y1，
解得x=x2y1−2y1+2y2y2，
即M(x2y1−2y1+2y2y2,y1)，
N(x2y1−2y1+2y2+x1y22y2,y1)，
直线NF2:y=2y1y2x2y1−2y1−2y2+x1y2(x−2)，
设Q(x,y)，
此时直线l的方程为x=my−2，
所以x+2x−2=2my1y22my1y2−4(y1+y2)=my1y2my1y2−2(y1+y2)，
由(2)知y1+y2=4mm2−3，y1y2=1m2−3，
所以x+2x−2=m⋅1m2−3m⋅1m2−3−24mm2−3=m−7m=−17，
解得x=−32.
故点Q恒在定直线x=−32上．
【解析】(1)由题意，根据双曲线的定义以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
(2)设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算求解即可；
(3)先求出M，N两点的坐标，结合(2)中信息求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．x
(−∞,−32)
−32
(−32,−1)
−1
(−1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增