广东省惠州市东江高级中学2025--2026学年高一上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份广东省惠州市东江高级中学2025--2026学年高一上册12月月考数学试题【附解析】，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：A
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求解一元二次不等式，得到，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得到结果．
【详解】由，解得， ∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,
又，，
由零点存在定理可知,零点所在区间为.
故选:.
4. 已知，，，那么a，b，c的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断.
【详解】由指数函数的性质，可得，且，，
又由对数函数的性质，可得，所以.
故选：C.
5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可.
【详解】由二次函数（其中）的图象可得，
所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD；
因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B；
故选：A
6. 若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的关系可得，再由代入求出，即可得解.
【详解】函数（且）的反函数为，
即，又，所以，所以，
则.
故选：A
7. 已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得.
【详解】由函数在R上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过多少天．（参考数据；，）（ ）
A. 70B. 80C. 90D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，利用指对转化求值.
【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，
则，即，两边同时取对数得，
化简得，
所以．
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（ ）
A. 分针转过的角的弧度为B. 分针转过的角的弧度为
C. 分针尖端所走过的弧长为D. 分针扫过的扇形面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由任意角的概念及扇形弧长、面积公式逐个判断即可；
【详解】由题意得分针转过的角的弧度为，
所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为．
故选：BC
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，都有”
B. 若函数的定义域为，则的定义域为.
C. 已知，则
D. 函数的单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据命题的否定、求函数的定义域和复合函数的单调性等对每个选项分析即可.
【详解】A. 根据命题否定的原则可知，命题“，使得”的否定是“，都有”，选项A正确.
B. 若函数的定义域为，，即得，则的定义域为，选项B错误.
C. 由题意得，，所以，
所以，选项C正确.
D. 令，对称轴为直线，函数在上单调递减，
因为在上为减函数，根据复合函数的单调性可知的单调递增区间为，选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知，，且，则（ ）
A. 的最大值为B. ab的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可判断A项B项正误；对平方后再应用基本不等式即可判断C项正误；应用“1”的代换，将展开再应用基本不等式即可求解．
【详解】对于A，B,因为，，且，
所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以即的最大值是，故A错误，B正确；
对于C，因为，，且，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最大值是，故C正确；
对于D，因为，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值是，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在0°~ 360°范围内，与终边相同的角是__________.
【答案】165°
【解析】
【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可.
【详解】.所以是，
故答案为：
13. 偶函数在上满足，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式.
【详解】偶函数在上满足，
当时，，所以.
故答案为：
14. 已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出取值范围.
【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为，
在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R，
方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点，
所以方程的实数解个数为3时取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算性质，化简.
（2）根据对数的运算性质，化简.
（3）利用完全平方公式，展开化简.
【小问1详解】
（1）
【小问2详解】
（2）
【小问3详解】
（3）因为，所以，即，所以；
16. 已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的值，并写出的解析式；
（2）解关于的不等式 ，其中.
【答案】（1）3，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；
（2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.
【小问1详解】
因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以；
【小问2详解】
不等式0，即
当，，即不等式解集，
当，或，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为.
所以，当，不等式解集为，
当，不等式解集为，
当，不等式解集为.
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并予以证明；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出不等式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数奇偶性的定义即可证明；
（3）根据题意，由对数函数的单调性，将不等式化简，即可求解.
【小问1详解】
由题意得
解得，
所以的定义域为．
【小问2详解】
为奇函数．
证明如下：由（1）可知的定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数．
【小问3详解】
题意得．
由，得，
解得，即不等式的解集为．
18. 已知定义域为R的函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式．
【答案】（1），；
（2）是R上的减函数，证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用可求得；
（2）根据单调性定义判断并证明；
（3）由奇偶性变形，由单调性化简，从而解出不等式．
【小问1详解】
由题意，则，
又，解得，因此；
小问2详解】
由（1），是R上的减函数，证明如下：
设，则，
由得，即，又，
所以，即，
所以是R上的减函数；
小问3详解】
不等式化为，
因为是奇函数，所以，
又是减函数，所以，解得．解集为．
19. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．）
【答案】（1）答案见解析
（2）5.54min
【解析】
【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式，求解方程.
【小问1详解】
选择②（，，）作为函数模型．
由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．
故应选择②（，，）
将表中前的数据代入，得，
解得，
所以函数模型的解析式为：；
【小问2详解】
由（1）中函数模型，有，
即，所以，
所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感．
时间/min
0
1
2
3
4
水温/℃
100.00
91.00
82.90
75.61
69.05