广东省广州市育才中学2025--2026学年高一上册1月考试数学试题【附解析】

这是一份广东省广州市育才中学2025--2026学年高一上册1月考试数学试题【附解析】，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分；考试时间：120分钟；
一、单选题（每题5分，共计40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因为，，
所以．
故选:B．
2. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
3. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数图象过点求出，可得的解析式，再根据的单调性可得答案.
【详解】已知幂函数经过点，可得，解得，
即，易知在上单调递减．
由于，，
所以可得，综上所述，．
故选：B．
4. 若角的终边经过点，则＝（ ）
A. B. C. D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式化简进而应用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
所以
.
故选：D
5. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解．
【详解】不等式可化为，
当时，不等式为，不满足对任意的恒成立；
当时，，图象开口向下，不满足题意，
所以，且，所以，
所以，且，；
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4．
故选：C
6. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A. 48小时B. 52小时C. 64小时D. 120小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入计算即可．
【详解】由题意可得，解得，所以，
这种药物完全分解，即当时，有，即，
解得．
故选：B．
7. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式等价于，结合函数图像得解集.
【详解】函数在上是奇函数，当时，，
根据题意，作出的图象，如图所示.
由得，即，
则或
观察图象得或，
即不等式的解集是.
故选：B.
8. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】试题分析：由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点横坐标之和为 .故正确答案为D.
考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.
【详解】
二、多选题（每题6分，共计18分）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B.
C. 若，则
D. 若，，且，则的最小值为9
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A：根据充分条件、必要条件的定义，结合分式不等式的求解方法判断即可；
选项B：根据两角和的正切公式计算即可；
选项C：根据不等式的基本性质判断即可；
选项D：根据基本不等式及“1的代换”求解即可.
【详解】对于选项A：充分性：若，则，成立；
必要性：若，则或，故不能推出，
因此“”是“”的充分不必要条件，故A为真命题；
对于选项B：因为，
所以，.
，故B为真命题；
对于选项C：当时，，该命题不成立，故C为假命题；
对于选项D：因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D为真命题.
故选：ABD.
10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据题意得到，
对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确.
【详解】由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，得到，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，正确；
故选：ACD
11. 已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到的范围；BCD选项：由题意可得，整理得，利用二次函数的对称性得到，然后利用对勾函数的单调性求范围即可.
【详解】作函数的图象如下，
有四个解，即与的图象有4个交点，，
可得，可知选项A正确；
由图象可得，则，即，
且，
令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减，
故，可知选项B正确；
，
令，根据“对勾”函数单调性可得，
又，可知选项C错误；
令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减，
在上单调递增，故，可知选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是画出函数的图象，二是对数的运算，三是数形结合思想的运用.
三、填空题（每题5分，共计15分）
12. 在中，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用，并根据两角和的余弦公式展开即可.
【详解】，则，由得，，注意到，即，于是在中，，则不可能为钝角，由，可得. 则.
故答案为：.
13. 已知函数满足下列三个条件：①对任意，；
②对任意，；③值域为，
则______.（写出满足要求的一个函数即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】首先确定三个条件的意义，再确定函数的解析式.
【详解】条件①说明函数的周期为，条件②说明函数关于对称，
根据三角函数性质可知，满足条件的函数为
故答案为：（答案不唯一）
14. 定义在上的函数满足，当时，，则__________，不等式的解集为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用题中解析式可得出，可求出的值；然后对所在区间进行分类讨论，结合指数函数单调性可解不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】因为定义在上的函数满足，当时，，
则；
当时，由，此时，恒成立；
当时，则，则，
由，可得，
又因为，则，解得，此时，；
当且时，且当时，则，
则，
此时，不等式无解；
当时，，则，
由可得，
由于，可得，解得，此时，；
当且时，且当，则，
则，
此时，不等式无解.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对所在区间进行讨论，求出函数解析式，结合指数函数单调性求解.
四、解答题
15. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合与集合，由并集的定义即可得解.
（2）若，则，再分与两种情况讨论即可.
【小问1详解】
由题可知，得，则，则，
若，则，
则.
【小问2详解】
由（1）可知，，，则.
若，则，解得；
若，则，得，则.
综上所述，.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔
（2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值.
【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间；
（2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案.
【详解】.
（1）的最小正周期为，
由，，解得，，
所以函数的单调递减区间是.
（2）将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将其横坐标缩小为原来的，
纵坐标不变得到函数，
据题意有，且，则，
则
.
【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.
17. 某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为元．
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④．
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）选择模型②，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据列出方程，即可得解；
（2）根据表中数据可知时间变换时，先增后减，即可判断；
（3）结合基本不等式与函数单调性，分与计算各自范围内的最小值，再比大小即可.
【小问1详解】
由题可知，，
整理得，解得；
【小问2详解】
由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，
而函数模型：①；③；④，均单调函数，
故选择模型②：.
由，可得，可得，
解得，则.
由，解得，
则.
【小问3详解】
，，
，.
当时，，
，当且仅当，即时，等号成立，
即当时，的最小值为；
当时，，
易知与在上单调递减，
故在上单调递减，
故时，的最小值为.
综上，因为，故的最小值为元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1），
（2）函数在上为单调递增函数；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义在R上奇函数，可得和，解得a与b，检验可得所求值；
（2）由指数函数的单调性可判断的单调性；
（3）由的奇偶性和单调性，可得当时，，即恒成立，可得所求范围．
【小问1详解】
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，即①；
又因为，所以，即②，
联立①②可得：，解得，代入①可得：，
经检验，当，时，，满足题意.
【小问2详解】
由（1）可得：，下面证明函数在R上为单调递增函数.
，，当时，
，
因为，且为R上的增函数，所以，
则，
所以，即，
所以函数在R上为单调递增函数；
【小问3详解】
因为当时，不等式恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
由函数在R上为单调递增函数得：当时，，即恒成立，
令，，
则当即时，函数在上单调递增，
所以，所以即或，所以；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
当即时，函数在上单调递减，所以，
所以，所以或，所以，
综上，实数t的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值问题，求最值的方法，常用单调性求最值，基本不等式求最值.
19. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）0和1；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）直接根据定义解方程即可；
（2）将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可；
（3）不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可.
【小问1详解】
当时，方程可化为，解得或；
所以，函数的不动点为0和1．
【小问2详解】
方程，即，可化为．
令，则当时，关于单调递增，且．
由题意，关于的方程在上有两个不等实根．
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且．
所以，．
综上，实数的取值范围为．
【小问3详解】
不等式可化为．
易知，函数在上最大值为，最小值为；
由题意，，，即．
上述不等式可化为．
令，则当时，．
由题意，，不等式恒成立．
函数在上单调递增，最大值为；
函数在上单调递减，最小值为．
所以，，即．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第二问将对数方程化为指数方程，利用分离参数及换元法转化为对勾函数定区间内有零点，结合对勾函数的单调性计算即可；第三问含有双变量的恒成立问题，先将原不等式化为在定区间恒成立，利用的最值得出的范围，同第二问分离参数及换元，利用函数的单调性计算即可.
15
20
25
30
105
110
105
100