上海市育才中学2025--2026学年高一上册期末数学试题【附解析】

这是一份上海市育才中学2025--2026学年高一上册期末数学试题【附解析】，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数 的定义域为_____
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可.
【详解】由得，
所以函数 的定义域为.
故答案为：.
2. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用扇形面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】因为某扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为.
故答案为：.
3. 不等式解集为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法求解，
【详解】恒成立，原不等式可化为，即，
解得，
故答案为：
4. 若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为：.
5. 已知角的终边经过点，则______．
【答案】##0.28
【解析】
【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解.
【详解】由题得，
故由三角函数定义得，
所以.
故答案为：.
6. 设，求方程的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式求解的最值，根据取等条件即可得方程的解集.
【详解】因为，
当且仅当时取等，
解得，
所以方程的解集为.
故答案为：.
7. 已知二次函数的值域为，则函数的值域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可.
【详解】由二次函数的值域为可得：
，
解得：或（舍），
所以，因为，
所以函数的值域为：.
故答案为：.
8. 若函数的定义域和值域分别为和，且是单调函数，则不同的函数的个数有___________个．
【答案】
【解析】
【分析】分为是增函数和减函数两种情况，结合函数的定义即可求出答案.
【详解】当是增函数时，必有，，
也可能，此时不同的函数的个数有个，
当是减函数时，必有，，
也可能，此时不同的函数的个数有个，
综上，不同的函数的个数有个.
故答案为：.
9. 设，若函数为奇函数，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】为奇函数，由定义域知，且，考虑时，无意义，可得，再由，可得.
【详解】由可得，又因为为奇函数，
由定义域关于原点对称，可知，
即当时，无意义，即，解得，
又，可得，所以，
故经检验满足题意，所以.
故答案为：.
10. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米
【答案】
【解析】
【分析】由条件列出及的关系，结合，求出，由此可得结论.
【详解】因为，所以，
所以，， 又，
所以，
所以，
所以，
所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米），
故答案为：.
11. 设，若实数满足，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目条件，令，用替换，构造函数结合基本不等式求值.
【详解】已知分段函数，且实数满足，
令,
对于，由，，
对于，，
因，故，，否则不满足，
，
故，
设，令，等价于求的最大值，
，当且仅当即时取等号,
此时，故,
综上，的最小值为.
故答案为：
12. 已知，若存在实数，使得对任意的正整数，都有，则的最小值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可知，，即，根据的范围即可求出答案.
【详解】作出单位圆，如图所示，

由题意知，的终边需落在图中阴影部分区域，
所以，
由题意可知，即，
又因为，可得，
所以当时，取最小值为.
故答案为：.
二、选择题
13. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论.
【详解】在中，若，则；
反之，若，且，
所以或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14. 设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. 时，D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值法判断AB，利用指数函数的单调性判断C，利用不等式的基本性质判断D.
【详解】对A：取，，则满足，
但，所以不一定成立，所以A错误；
对B：取，，则满足，
但，所以不一定成立，所以B错误；
对C：因为，所以，
所以函数在上单调递减，
又，所以，所以C错误；
对D：因，所以，所以，所以D正确.
故选：D
15. 已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（ ）
A. 偶函数且关于直线对称B. 为偶函数且关于点对称
C. 为奇函数且关于直线对称D. 为奇函数且关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误.
【详解】对于A，因为为偶函数，故，
而的图像关于直线对称，故，故，
故为周期函数且周期为2，
而在必有最大值，故必有最大值，故A错误.
对于B，而的图像关于点对称，故，
故，故，故
故为周期函数且周期为4，
而在必有最大值，故必有最大值，故B错误.
对于C，因为为奇函数，故，
而的图像关于直线对称，故，故，
所以故为周期函数且周期为4，
而在必有最大值，故必有最大值，故C错误.
对于D，因为为奇函数，故，
而的图像关于点对称，故，
故，设，
则，故无最大值，
故选：D
16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（ ）
A. ①正确，②正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①错误，②错误
【答案】B
【解析】
【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立.
【详解】假设，在上单调递增函数，
对于任意实数，，
，，，，故①正确；
设，当时，，，
此时取，则，不满足；
当时，，取，则，
因为，所以，所以，
此时，不满足；
当时，，
取，则，不满足
综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误.
故选：B.
三、解答题
17. 设集合，．
（1）若，试用区间表示集合，并求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，解不等式求解即可.
（2）根据列不等式即可求得答案.
【小问1详解】
若，则，所以有，解得，所以，
，因为，
由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以由集合交集的运算可得，.
【小问2详解】
由（1）知，
因为，所以当时，即时，，
因为，则，解得；
当时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件，
所以实数的取值范围为.
18. 设常数、，关于的方程的两个实数根是、.
（1）若，，求和的值；
（2）若，，分别求和的值．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求出，最后根据韦达定理，计算即可.
（2）利用，求出，再利用，以及，判断，，计算即可.
【小问1详解】
，
，
，
又关于的方程的两个实数根是、，
，，
，
.
【小问2详解】
，，，
，
，
即，
解得：，此时,
，
即
，
，，
，，
∴．
19. 有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点，以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系．设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点B距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；
（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
【答案】（1），，

（2）垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．
【解析】
【分析】（1）理解题意，根据所给数据求解
（2）作出图象，表示出与坐标轴围成的面积后解不等式
【小问1详解】
投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，
所以，同理得，，，
由题意得，，，
则当，即时，；
当，即时，；
综上；
【小问2详解】
由题意得，，
所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
所以，
由题意，，即，
解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．

20. 已知
（1）讨论函数的奇偶性，说明理由；
（2）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围；
（3）若，，函数在上的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）时，为偶函数；时，为奇函数；，为非奇非偶函数.理由见解析．
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断即可.
（2）当时，为奇函数，并且是增函数，将转化为在上恒成立问题，计算即可.
（3）由，求出，则，令，利用换元法构造函数，分类讨论求最小值即可.
【小问1详解】
，定义域为，，
当时，，当时，为偶函数；
当时，，
当时，为奇函数；
当时，，，
当时，为非奇非偶函数.
【小问2详解】
当时，，，
任取,且有，
，
，
，，即，
，在上单调递增，
，，
又当时，，，
在上单调递增，，整理得：，
不等式在上恒成立，
∴，解得：.
【小问3详解】
，，解得：，，
，
令，为增函数，
∵，∴，
令，，
若，当时，，∴；
若时，当时，，解得：（舍去），
综上，．
21. 已知函数的定义域为，记，其中，且．
（1）当，求函数的零点；
（2）当，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数的充要条件是“任取中两个不相同元素和，均有”．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出的解析式，再利用零点的定义求解；
（2）先求出的解析式，再结合已知条件分情况讨论求出的取值范围；
（3）利用已知条件，分别证明命题的充分性和必要性，从而证明结论．
【小问1详解】
，
，令，解得，
函数的零点为．
【小问2详解】
，，
，
若存在，使得成立，其中，且，
当时，，不满足，舍去；
当时，是斜率大于0的一次函数，在上单调递增，最小值为，
存在使得成立；
当时，单调递增，最小值，
，不满足；
当时，是斜率小于0的一次函数，在上单调递减，
当时，，故存在使得；
综上，实数的取值范围为．
【小问3详解】
必要性：任取、，不妨设，取为正有理数，则有，
在上是严格增函数，，
即，化简得，
，即．
充分性：任取中不同的元素和，不妨设，设，
其中、为整数，、、、为正整数，
取正数，则，和为整数，为正整数．
设，则，
取，
故，即．
，
同理，．
，则． 、为整数，为正整数，
，故，即，
对于任意的正有理数，函数在上是严格增函数．