广东省东莞市翰林高级中学2025--2026学年高一上册期末适应性考试数学试题【附解析】

这是一份广东省东莞市翰林高级中学2025--2026学年高一上册期末适应性考试数学试题【附解析】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，若,则的值为
A. B. C.D.
【答案】A
【解析】
【详解】，若，不满足集合元素的互异性，
故，
故结果选A.
2. 已知命题，，则命题的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，.
故选：B.
3. “”是“”的（）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】当时，成立，
当时，满足成立，但不成立．
故“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：B．
4. 已知某扇形的弧长和面积均为，则该扇形的圆心角（正角）为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形的圆心角为，半径为，结合扇形的弧长公式与面积公式可列出与的方程组，求解即可.
【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形的弧长和面积均为，所以，解得；
所以该扇形的圆心角（正角）为.
故选：D.
5. 函数的零点所在区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
6. 已知某函数部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象可知函数为偶函数，，并且当时，，对选项进行排除即可.
【详解】由图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为，
A选项中，所以为偶函数，
B选项中，所以为偶函数，
C选项中，所以为奇函数，所以排除C选项，
D选项中，所以为偶函数；
由图象知，A选项中，
B选项中，所以排除B选项，
D选项中；
由图象知，当时，，
A选项中当时，，
D选项中当时，，所以排除D选项.
故选：A
7. 已知函数，则下列结论错误的是（）
A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 在区间上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，由图象平移变换可判断选项正误；对于B，根据余弦型函数的对称性可判断选项正误；对于C，将代入，验证是否为，即可判断选项正误；对于D，由余弦函数单调性可判断选项正误．
【详解】对于A，的图像向左平移可得，故A正确；
对于B，时，，函数关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将代入，则，故C正确；
对于D，，因为函数在上单调递减，
在上单调递增，故在区间上不单调递减，故D错误.
故选：D．
8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】结合为偶函数与可得函数周期，结合函数周期计算即可得解.
【详解】由函数是定义域为的偶函数，则有，
由，则，故，
则，即，
则，故周期为，
则.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指对数的运算可得答案.
【详解】，，
，，
故选：ABD
10. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项.
【详解】对于A，因为，所以，
，
所以，故A正确；
对于B，由已知可得，
因为，
所以，故B错误；
对于C，D，由，
可得，所以，故C，D都正确．
故选：ACD
11. 已知，则下列说法正确的是（）
A. 是奇函数
B. 若，则
C. 若，则
D. 若方程有两个不同的实数解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D.
【详解】对于A，因为，
所以函数定义域为R，且，
故函数是奇函数，故A正确；
对于B，因为为增函数，所以为减函数，
所以若，则，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为减函数，所以，
所以，故C正确；
对于D，令，
依次作出函数、和的图象如图所示：
因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数且的反函数过点，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，即可得出．
【详解】由函数，且的反函数的图象过点，
可得：图象过点，
，
又，．
故答案为3．
【点睛】本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．
13. 已知，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，结合正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】解：因为，所以；
所以，所以.
故答案为：.
14. 已知函数 ，，且，则（1）__________，（2）当 取得最小值时， __________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】根据题意，由条件可得 ，令 ，结合基本不等式代入计算，即可得到结果．
解答】由可得，所以，
所以，易知，，
因为，所以，故，即，即 ，
令 ，则，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值，此时也取得最小值．
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设集合．
（1）全集，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据交集的定义可求；
（2）就、分类讨论后可求参数的范围.
【小问1详解】
，而，
故.
【小问2详解】
因为，故，
若即，则；
若，则，故，
综上，.
16. 已知．
（1）化简函数；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系化简函数即可；
（2）分式中分子分母同除，化弦为切即可求解.
小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以.
17. 已知函数.
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围；
（3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围．
【答案】（1）作图见解析，单调递减区间为，值域为；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）探讨函数的性质，作出函数图象，求出递减区间及值域.
（2）结合函数图象，求出的范围.
（3）利用分段函数图象及性质，结合图象求出范围.
【小问1详解】
函数，当时，在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上单调递减，函数值集合，
在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象，如图：
函数的单调递减区间为，值域为.
【小问2详解】
观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，则或，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
由 ，，得 ，
如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则，
所以的取值范围分别为.
18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
【答案】（1），
（2）5.
【解析】
【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得；
（2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论.
【小问1详解】
∵，即，
∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
【小问2详解】
由（1）知，
则，
当时，，当且仅当，即时取等号.
当，即时，，
由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，
∴，
∵，即，
∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
19. 已知函数，的最小正周期为，
（1）求在上的取值范围；
（2）证明：在区间上有唯一零点；
（3）证明：在上恒成立．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据最小正周期公式求出 的值，再结合正弦函数的性质求出 在给定区间上的取值范围；
（2）先求出 的表达式，再通过分析函数的单调性，结合零点存在定理证明 在区间 上有唯一零点；
（3）先对 进行化简，再通过构造函数，利用函数的单调性证明 在 上恒成立.
【小问1详解】
因为的最小正周期为，
所以， 解得，所以；
由 得，，
所以当，即时，有最小值；
当，即时，有最大值；
所以上取值范围为.
【小问2详解】
证明：由（1）可得，
因为， ，
所以，
又因为函数在上单调递增，
所以在上存在唯一零点；
【小问3详解】
当时，，
因为，所以，，
当时，，
因为， 所以，
综上，在上恒成立.