辽宁省沈阳市2025-2026学年上学期高二期末数学试卷及答案

这是一份辽宁省沈阳市2025-2026学年上学期高二期末数学试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分）
第二部分：非选择题型（12－19题92分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 直线3x−3y−2=0的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 30°
C. 60°D. 120°
2. 若直线x+y−m=0被圆C:(x−1)2+(y+1)2=4截得的弦长为22，则m=（ ）
A. ±2B. ±2
C.2D. 22
3. 今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有
A.210种B.162种C.720种D.840种
4. 在多项式(a+x)(1+x)4的展开式中，系数和为64，则展开式中含x3项的系数为
A.26B.18C.12D.9
5. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若对空间中任意一点O，有12OP→=6OA→−4OB→+3OC→，则P、A、B、C四点共面
B. 已知向量a→=(2,1,−3)，b→=(1,2,1)，则a→在b→上的投影向量为16,13,16
C. 若直线l的方向向量为m→=(1,−1,1)，平面α的法向量为n→=(−1,1,−1)，则直线l∥α
D. 点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(3,−2,−1)
6. 已知F为椭圆C: x216+y27=1 的右焦点，P为椭圆C上一点，Q为圆M:x2+(y−4)2=1上一点，则|PQ|−|PF|的最小值为（ ）
A. −5B. −4
C. −3D. −2
7. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1和BB1的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. D1E⊥CF
B. a=(1,0,3)是平面EFD1的一个法向量
C. 直线CF与平面EFD1夹角的正弦值为45
D. 点C到平面EFD1的距离为435
8. 已知双曲线C: x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有FB=2BA，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. y=±2xB. y=±3x
C. y=±5xD. y=±12x
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列有关说法错误的是（ ）
A. 在x+1x26 展开式中无常数项
B. 5555除以8的余数为1
C. 已知C15x+2=C152x−5 ，则x的取值为7.
D．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有36种
10. 已知抛物线C:y=x24的焦点为F，M，N是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为116,0
B．直线l:y−x+1=0与抛物线C相切
C．已知点A(1,4)，则∆MAF的周长最小值为10+5
D．若MF→=2FN→，则∆MON的面积为322
11．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
B．若MN=2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为3π4
C．若直线MN与平面ABCD所成的角为60°，则N的轨迹为椭圆
D．若直线D1N与直线AB所成的角为60°，则N的轨迹为双曲线
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 直线l:mx−y+2−3m=0(m∈R)与圆C:x2+y2−2y−15=0交于两点P，Q，则弦长|PQ|的最小值是 _________.
13．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
AB=AD=AA1=2，∠BAD=π2，∠BAA1=∠DAA1=π3，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为_________.
14. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C:x2a2+y26=1(a2>6)，若直线l:4x−3y+30=0上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是________.
四、解答题（共77分）
15.（13分）已知(3x−2)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
（1）求(3x−2)n展开式的所有二项式系数之和；
（2）求a13+a232+⋯+an3n的值；
（3）判断(3x−2)n的展开式中第几项系数的绝对值最大.
16.（15分）16. 如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，AD=DC=1，PA=AB=2.
（1）求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；
（2）若点E在PB上，且PE=λPB(00)上的点到其右焦点F(1,0)的最大距离为3．
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 设椭圆的左、右顶点分别为A，B，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（异于A，B）．
① 若∆AMN的面积为15，求直线l的方程；
② 若直线AN与直线BM交于点P，证明：点P在一条定直线上．
18.（17分）如图，在正四棱锥P−ABCD中，所有棱长都相等，点E，F分别是棱PC，PB的中点，点G在棱AB上，且AG→=λAB→,λ∈[0,1]．
（1） 若λ=12，证明：GF∥平面BDE；
（2） 当异面直线GF与BD所成角为π2时，求实数λ的值；
（3） 求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的取值范围．
19.（17分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为3．
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 过点E(2,0)作直线l1交双曲线的右支于A，B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求∆PAB的面积的最小值；
（3） 设定点T(t,0)，过点T的直线l2交双曲线C于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线C上存在一点S，使得直线SM的斜率与直线SN的斜率之和为定值，求实数t的取值范围．
高二年级数学答案
12. 26
13. 66
14. 255,1
15.（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n=10，
所以展开式的所有二项式系数之和为210=10243
（2）令x=0，得a0=(0-2)10=1024.
令x=13，得a0+a13+a232+⋯+a10310=3×13-210=1，
所以a13+a232+⋯+a10310=-10237
（3）(3x+2)10展开式的通项Tr+1=C10r310-rxr210-r.
由{C10r310−r×2r≥C10r+139−r×2r+1,C10r310−r×2r≥C10r−1311−r×2r−1得175≤r≤225.
因为r为整数，所以r=4，所以(3x-2)10的展开式中
第5项系数的绝对值最大13
16.（1）由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，
PA⊥AB得PA⊥平面ABCD.
因为，AD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.
又四边形 ABCD 为直角梯形且 AB∥CD，
则 AB⊥AD，故 AD，AB，AP 两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系 A−xyz，
则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，
所以 AB→=(0,2,0)，PB→=(0,2,−2)，PC→=(1,1,−2)，
显然 AB→=(0,2,0) 是平面 PAD 的一个法向量，
设平面 PBC 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1)，
则 {m⋅PB→=2y1−2z1=0m⋅PC→=x1+y1−2z1=0，
取 z1=1，y1=1，从而 m=(1,1,1)，
所以 |cs⟨AB→，m⟩|=|AB→·m||AB→||m|=22×3=33，
所以平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值为 335
（2）因为 PE=λPB，所以 E(0,2λ,2−2λ)，AE→=(0,2λ,2−2λ)，AC→=(1,1,0)，
设平面 AEC 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2)，
则 {n⋅AE→=0+2λy2+(2−2λ)z2=0n⋅AC→=x2+y2=0，
令y2=-1，则x2=1，z2=λ1-λ，从而n=1,-1,λ1-λ8
（i）当λ=13时，n=(1,−1,12)，PA=(0,0,−2)，
从而P到平面AEC的距离为d=|PA·n||n|=11+1+14=2310
（ii）假设存在λ满足题意，PD与平面AEC所成角为θ，
则sinθ=|cs⟨PD，n⟩|=|PD·n||PD|·|n|=|1−2λ1−λ|5·2+(λ1−λ)2=1515．
化简得24λ2−14λ+1=0，解得λ=12或112．
故存在λ=12或112，使得PD与平面AEC所成角的正弦值为151515
17.（1）∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其右焦点F(1,0)的最大距离为3，
∴c=1，a+c=3，故a=2，
∴a2=4，b2=a2−c2=4−1=3，
∴椭圆C的方程为x24+y23=1；3
（2）
①设过点F(1,0)的直线方程为x=my+1，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立{x24+y23=1x=my+1，得(3m2+4)y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4， 则
|MN|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=1+m2−6m3m2+42−4−93m2+4=12(m2+1)3m2+4，
又∵点A(−2,0)到直线l的距离d=31+m2，
令S=12|MN|d=12·12(m2+1)3m2+4·31+m2=181+m23m2+4=15，6
化简整理得
45m4+12m2−28=(3m2−2)(15m2+14)=0，∵m2>0，
∴m2=23， 解得m=±63，
∴直线l的方程为3x±6y-3=0．8
②由①知A(−2,0)，B(2,0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
∴直线BM:y=y1x1−2(x−2)，直线AN:y=y2x2+2(x+2)，
联立直线AN，BM{y=y1x1−2(x−2)y=y2x2+2(x+2)，整理得x+2x−2=(x2+2)y1(x1−2)y2=my1y2+3y1my1y2−y2，
由①知y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，∴my1y2=32(y1+y2)，11
∴x+2x−2=my1y2+3y1my1y2−y2=92y1+32y232y1+12y2=3，
即2x−8=0，解得x=4，
∴ 点P在直线x=4上．15
18.（1）如图，连接AC，交BD于O，连接OE，则O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE∥PA；
当λ=12时，G为AB的中点，又F为PB的中点，所以GF∥PA；
所以GF∥OE，又GF⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以GF∥平面BDE；4
（2）如图，连接OP，由正四棱锥P−ABCD可知OA，OB，OP两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，
设AB=22，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(−2,0,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,2)，
所以E(−1,0,1)，F(0,1,1)，G(1,1,0)，所以BD→=(0,−4,0)，AB→=(−2,2,0)，AF→=(−2,1,1)，
所以AG→=λAB→=(−2λ,2λ,0)，GF→=AF→−AG→=(−2+2λ,1−2λ,1)；
因为异面直线GF与BD所成角为π2，所以GF→·BD→=−4(1−2λ)=0，解得λ=12∈[0,1]，
实数λ的值为12；8
（3）由（2）知，
BD→=(0,−4,0)，BE→=(−1,−2,1)，DP→=(0,2,2)，AD→=(−2,−2,0)，AG→=(−2λ,2λ,0)，
所以DG→=AG→−AD→=(2−2λ,2+2λ,0)；
设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z)，则
{m→⋅BD→=0m→⋅BE→=0，即{−4y=0−x−2y+z=0，取x=1，则y=0，z=1，所以m=(1,0,1)；
设平面PDG的一个法向量为n=(a,b,c)，则
{n→⋅DP→=0n→⋅DG→=0，即{2y+2z=0(2−2λ)x+(2+2λ)y=0，取x=1+λ，则y=λ−1，z=1−λ，所以
n=(1+λ,λ-1,1-λ)；12
设平面BDE与平面PDG的夹角为θ，
则csθ=|cs⟨m，n⟩|=|m·n||m||n|=|1+λ+1-λ|2(1+λ)2+2(1-λ)2=23λ2-2λ+3，15
因为λ∈[0,1]，所以函数y=3λ2−2λ+3=3λ−132+83∈83,4，
所以csθ=23λ2−2λ+3∈22,32，
即平面BDE与平面PDG夹角余弦值的取值范围是22,3217
19.（1）因为双曲线C: x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，故a=1，
而双曲线的渐近线为bx±ay=0，
故右焦点F(c,0)到渐近线的距离为bca2+b2=b=3，
故双曲线的方程为：x2-y23=13
（2）显然直线l与y轴不垂直，设l：x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由双曲线的对称性知AP的中点为O，故S∆PAB=2S∆OAB，
联立{x=my+2x2−y23=1⇒(3m2−1)y2+12my+9=0
故Δ=36(m2+1)>0,{y1+y2=−12m3m2−1y1⋅y2=93m2−1，
由于A，B均在双曲线右支，故y1·y2=93m2−1