福建省泉州市2026届高三数学上学期期中测试含解析

这是一份福建省泉州市2026届高三数学上学期期中测试含解析，共13页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合，，则等于（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.B.C.4D.8
3.设等差数列前项和为.若，则（ ）
A.B.C.1D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ）
A.B.C.D.
5.设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知函数，则（ ）
A.的最大值是B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点中心对称D.的单调递增区间为（）
7.设，，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，且满足为奇函数，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A.3B.C.1D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.的图象关于对称B.有两个极值点
C.有三个零点D.直线是曲线的切线
10.已知、，且，则（ ）
A.B.
C.D.
11.已知函数（，）满足.下列说法正确的是（ ）
A.
B.当，都有，则函数的最小正周期为
C.设，存在，（）；，则
D.若函数在上单调递增，则方程在上最多有4个不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则实数______.
13.若，则______.
14.已知函数（），若关于的不等式无整数解，则的取值范围为______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列满足：，.
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前2024项和.
16.（15分）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（图2）.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求.
18.（17分）已知双曲线：（，）的渐近线上一点到左焦点的最短距离为.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，直线：与的左支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方.
（ⅰ）若，在上恰有三个点，，到直线的距离均为，求的值.
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，函数恰有两个零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
2025年秋季期中惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中学联考
高三数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1 13.7 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）证明：由得：，所以.
则是以为首项，公差为的等差数列，
故，所以.
（2）由（1），，.
则
.
16.（15分）
解：（1）在平行四边形中，为等边三角形，
则，
，，
在中，，，，
，
，，
在四棱锥中由可得，，
且，平面，平面，
平面.
（2）分别取，中点，，连接，，
由（1）可知，平面，
，平面，平面，
，在正三角形中，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
，即，
，，，，
设向量，分别为平面和平面的一个法向量，
则和，
令，则，令，
则，即，，
设平面与平面的夹角为，
则.
17.（15分）
解：（1）由已知结合正弦定理，得，
化简得，
即，
所以，
又，所以，
故由正弦定理得.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
结合，可得，故，
由（1）知，
由余弦定理得，
则，
化简得，
代入，整理得，所以，
所以，故.
18.（17分）
解：（1）设双曲线的焦距为，且，
则到直线的距离为，
解得，，所以双曲线的方程为.
（2）（ⅰ）若，在双曲线上恰有三个点，，到直线的距离均为，
则与直线平行且距离相等的两条平行直线，，
一条与双曲线相切，一条与双曲线交于两点.
设与直线平行的直线方程为，，
联立方程组，整理得，
令，解得，7分
当时，直线与的距离为；
当时，直线与的距离为，
所以的值或.
（ⅱ）设，，
由，消去得，
则，，，，
由直线与双曲线左支交于两点，得，解得，
故，
原点到直线的距离，
设，，由，消去得，
则，，
则，
于是，
令，
则，
所以的最大值为.
19.（17分）
解：（1），
当时，，所以函数在上递减，
当时，设，则，
所以函数在上递增，即在上递增，
令，得；
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
综上可得，当时，函数在上递减；
当时，函数在上递减，在上递增
（2）（ⅰ）（），
函数的定义域为，
（），
设，则（），
所以函数在上递增，
由（1）可知，当时，，即，
所以，
所以，
又因，由零点的存在性定理可得，
存在，使得，即，（*）
当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
当时，由（*）可知
，
且，
设，则（），
所以函数在上递增，
因为，结合，
得，又，所以，
所以，即，
所以当时，函数最多一个零点，与题意矛盾，
当时，，
设（），则（），
所以函数在上递增，
所以，即，
因为（），所以，即，
所以，则，
所以，且，
当时，，
所以由单调性可知，且，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，
，且，
所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，
所以当时，函数恰有两个零点，
综上所述，的取值范围为.
（注：法二：可用同构法）11分
（ⅱ）因为，即，
则，
所以，
有基本不等式可得
，
当且仅当，即时，取等号，
由，由可得，这与矛盾，
所以，所以，
要证，即证，
设（），
则，所以函数在上递减，
所以当时，，因为，所以，
所以，又，
所以.
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
B
D
A
A
题序
9
10
11
答案
ABD
BD
ACD