2023届福建省泉州市高三上学期期初数学试题（解析版）

这是一份2023届福建省泉州市高三上学期期初数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届福建省泉州市高三上学期期初数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合和取交集即可.【详解】，，所以.故选：A2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.故选：A3．的展开式中，的系数等于（    ）A． B． C．10 D．45【答案】D【分析】由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.【详解】的通项为，令，解得，所以项的系数为：.故选：D4．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，则，，则.故选：D.5．如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先求出周期，再根据求，最后根据点和即可求.【详解】由图可知：，得，所以，将代入方程得：，，又，,，，所以，，，解得：或（舍）.故选：B6．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则（    ）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】过点作，垂足为点，作，垂足为点，分析出点为的中点，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】过点作，垂足为点，作，垂足为点，，所以，四边形为矩形，所以，，因为，所以，，故，由抛物线的定义可得，，所以，，即.故选：A.7．已知矩形ABCD中，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断当与所成角最大时，，进而证得面，再证得是直角三角形，故可由求得结果.【详解】因为异面直线最大角为直角，故当时，与所成角最大，因为四边形是矩形，所以，又，，面，故面，又因为面，所以，在中，，所以，又，所以，故，所以.故选：C.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，．若与的图象交于点、、、，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函数是以为周期的周期函数，且直线是函数图象的一条对称轴，点是函数图象的一个对称中心，直线关于点对称，作出图形，结合对称性可求得结果.【详解】由题意可得，所以，，故函数是以为周期的周期函数，且直线是函数图象的一条对称轴，且，故点是函数图象的一个对称中心，作出函数的图象如下图所示：且当时，；当时，.且直线关于点对称，由图可知，直线与曲线有个不同的公共点，故，，因此，.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题的关键在于分析函数的对称性与周期性，利用图象并结合对称性来处理. 二、多选题9．已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（    ）A． B．d的最大值为C．是等腰三角形 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.【详解】对于A，由圆，可得，半径为，点到直线的距离为，则，故A正确；对于B，由题意，可作下图：点为弦的中点，直线，则，故B错误；对于C，由选项B与题意，如下图：易知，，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由，则直线的方程为，则，即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，故C正确；对于D，由题意，可作图：则，显然，则，故D正确；故选：ACD.10．某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（    ）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏【答案】AC【分析】先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.【详解】由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为，故理论上回答问题一的人数为人.掷出点数为奇数的概率为，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”， 故该校迷恋电子游戏的学生约为，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为，故D错.故选：AC.11．设函数，则下列判断正确的是（　　）A．存在两个极值点B．当时，存在两个零点C．当时，存在一个零点D．若有两个零点，则【答案】BD【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D.【详解】因为函数的定义域为，，设，，且方程的两根之积为，在上有一个正根，设为，在上，，函数单调递增，在上，，函数单调递减，所以存在一个极大值点，A错误；令，即，函数的零点即为与的交点，如图所示：函数图像与轴的交点为，当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确；当时，与有两个不同的交点，所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误；若有两个零点，假设，则有即两式相减得：，，则，，，所以，即，D正确.故选：BD.12．已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ）A．平面 B．球的表面积为C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为60°【答案】ACD【分析】对于A，利用平行四边形证得，进而证得平面；对于B，先假设的位置，利用勾股定理与半径相等得到及，解得，进而确定的位置，故可求得球的表面积为；对于C，先判断落上，再进一步判断与重合时，取得最小值为；对于D，利用面面垂直的性质作出面，故为与平面所成角，再利用得知当与重合时，取得最大值，再利用对顶角相等求得此时，进而得到的最大值为.【详解】对于A，如图1，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由平面几何易得，即；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，故平面，故A正确；.对于B，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则，在等腰梯形中，易得，即，为方便计算，不妨设，则由，即，即，又，解得，即与重合，故，故球的表面积为，故B错误；.对于C，由图2易得，，，面，故面，不妨设落在图3处，过作，则面，故，故在中，（勾股边小于斜边）；同理，，所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；再看图4，由可知， 故，故C正确，.对于D，由选项C可知，面，面，故面面，在面内过作交于，如图5，则面，面面，故面，故为与平面所成角，在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最大值，显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且，在中，，，，故为正三角形，即，即与平面所成角的最大值为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于确定的位置，先假设在外（记为），由勾股边小于斜边推得，进而得到只有落在上，再利用为定值及基本不等式，推得与重合时，取得最小值；对于动点，我们一般要考虑特殊位置，可提高我们做题速度. 三、填空题13．已知，为单位向量，，则_____．【答案】【分析】由题可得，再代入即得.【详解】因为，为单位向量，，所以，所以，则.故答案为：.14．曲线在处的切线方程为 _____．【答案】【分析】根据导数的几何意义即得.【详解】因为，所以，当时，，，故切线方程为：，即.故答案为：.15．已知等比数列的公比，则__________．【答案】【分析】根据给定条件，求出等比数列的首项及公比即可求解作答.【详解】在等比数列中，，由得：，即有，因，则，即有，解得，，，所以.故答案为：16．在平面直角坐标系xOy中，已知为双曲线的左、右焦点，为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分，直线与的斜率分别为，且，则C的离心率等于_______．【答案】2【分析】根据角平分线和三角形面积的关系得出，再根据斜率的关系得出，又有，从而可求出，最后根据即可求得离心率.【详解】如图所示：，，易知：，而，又，所以有，过点作轴，垂足为，因为，所以和关于对称，即有，，又因为，解得：，，，设直线的倾斜角为，则，，所以在Rt中，，即，化简得：，即离心率.故答案为：2 四、解答题17．已知数列各项均为正数，且．(1)求的通项公式(2)设，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题知，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；（2）结合（1），根据分组并项求和法求即可即可.【详解】（1）解：因为所以，，因为数列各项均为正数，即，所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.所以（2）解：由（1）知，其公差为，所以，所以，18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知(1)求A；(2)若，求的周长的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求得角；（2）利用三角函数求值域求周长的取值范围.【详解】（1），，由正弦定理得：，又，所以，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，，所以，所以，所以周长.19．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图． 73.53.85 表中：(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程：(3)已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：②参考数据：．【答案】(1)②(2)(3)7.5分钟 【分析】（1）根据散点图的走势即可对回归方程作出判断和选择；（2）把非线性回归方程化为线性回归直线方程，根据题中表格所给的数据计算求解即可；（3）由已知当茶水温度降至60℃口感最佳，即把代入（2）中的回归方程，化简可得大约需要放置的时间；【详解】（1）根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②更适宜此散点的回归方程.（2）由有：，两边取自然对数得：，设，， ，则化为：，又， ，， ，，回归方程为：，即.（3）当时，代入回归方程得：，化简得：，即，又，约化为：，即 大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.20．三棱柱中，．(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过证明平面，即得，从而得到.（2）根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值.【详解】（1）如图所示：作中点，连接，，是等边三角形，又，满足，即有，而，所以，，平面，平面，而平面，所以，又因为是中点，所以.（2）若，则，易知，以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：过点作，垂足为，易求，，则，，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，所以，同理可得：平面的法向量，则.因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.21．已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且． (1)求C的方程；(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，结合条件可知，将点的坐标代入椭圆的方程，即得；（2）设点，求出点的坐标，写出直线的方程，结合条件变形即得.【详解】（1）设点，其中，则，因为椭圆过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程， ，所以，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）设点， 则，所以，直线的垂线的斜率为，由题可知，故直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，所以，直线的方程为，即，因为，所以，所以，所以，所以，直线过定点.22．已知函数(1)讨论的单调性；(2)若在有两个极值点，求证：．【答案】(1)当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在和上单调递增.(2)见解析 【分析】（1）由题意，求导，根据含参二次函数的性质，由判别式进行分类讨论，可得答案；（2）由题意，根据极值点与导数零点的关系，结合韦达定理，化简不等式以及明确参数的取值范围，构造函数，求导研究新函数的单调性，可得答案.【详解】（1）由，求导得，易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，①当时，即，，则在上单调递增；②当时，即或，令时，解得或，当时，，则在上单调递减；当或，，则在和上单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在和上单调递增.（2）在上由两个极值点，或，且为方程的两个根，即，，，，即，将，代入上式，可得：，由题意，需证，令，求导得，当时，，则在上单调递减，即，故.