2024-2025学年浙江省嘉兴市九年级上学期期末数学试卷

这是一份2024-2025学年浙江省嘉兴市九年级上学期期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
3．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．两个负数的和是正数
B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球
C．任意画一个三角形，内角和为
D．抛掷一枚硬币，正面朝上
4．已知，则代数式的值为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
7．沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ）
A．B．或
C．或1D．1
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．正六边形的每个内角等于 °．
12．在相同条件下对某品种绿豆进行发芽试验，得到如下的数据：
则估计这种绿豆的发芽概率是 ．
13．如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ．
14．如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ．
15．在直角坐标系中，已知点，，点在线段上，设，则的最大值为 ．
16．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分）
17．已知二次函数．
(1)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(2)当时，直接写出的取值范围．
18．一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．
(1)从中随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率．
(2)从中随机摸出一个球，放回后摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法，求两次摸出的球颜色相同的概率．
19．如图，在中，是边上的一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．如图，是正三角形．
(1)用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积．
21．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
22．如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，．
(1)在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？
(2)当点落在边上时（如图3），求的长．
23．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
(1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
(2)已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
24．如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)如图，连结，若，请直接写出的值．
每批粒数
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数
96
282
382
570
949
1902
2850
发芽频率
参考答案
1．B
【解析】二次函数图象的顶点坐标是，
故选：B．
2．D
【解析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
3．D
【解析】A.两个负数的和是正数，是不可能事件，不符合题意；
B.在一个只装有黑球的袋中摸出白球，是不可能事件，不符合题意；
C.任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，不符合题意；
D.抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意；
故选：D
4．A
【解析】，
，
故选：A．
5．C
【解析】与是位似图形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C ．
6．C
【解析】观察函数的图象可知，
图象与直线有3个交点，
∴方程的实数根有3个
故选：C
7．A
【解析】连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故选：A．
．
8．B
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
9．B
【解析】∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵图中为四个全等的直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形中，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．C
【解析】向右平移3个单位，
经过原点，
，
整理得：，
，
二次函数的对称轴为直线，
①当时，
当时函数值有最小值，
当时，，
，
，
解得：；
②当时，
，
当时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为或1．
故选：C．
11．120
【解析】六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为：，
故答案为：120
12．
【解析】根据表格中的数据可知，绿豆个数越多，发芽的频率越稳定在附近，
∴这种绿豆的发芽概率是．
故答案为：．
13．
【解析】∵对折，
∴，
∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍掉）；
故答案为：．
14．
【解析】∵、是的中线，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴．
故答案为：．
15．
【解析】设直线为，
∵点，，
∴，
解得，
∴直线为，
∵点在线段上，
∴，
∴，
∵，
∴当时，t有最大值为．
故答案为：．
16．
【解析】如图，作半径于D，连接，，
∵将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
过B作于E，
∴，，
∴，
∴，
又，，
∴，
在中，，
∴，
∴(负值舍去)，
∴，
故答案为∶ ．
17．解：（1）∴令，则；
∴与轴的交点坐标为，
令，解得：，，
与轴的交点为，．
（2）∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
18．解：（1）由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．
（2）记三个红球为，
依题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，
其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
19．解：（1），，
．
（2），
，即，
，
．
20．解（1）作图如图所示，即为所求作的的外接圆．
（2），
扇形的面积为．
21．解（1）按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）当时，，
能通过．
22．解：（1）如图2，当点不在直线上时，
，，，
，
图1中的、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
答：在旋转过程中，与之间始终保持；
（2）图1中的、分别为、的中点，
，，，，
，
如图3，
点在上，
，
由（1）可得：，，
，
，
，
．
23．解：（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
即：方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
（2）解：①令，则，
，
一定存在两个“点”．
②设，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
24．解：（1）如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）．
理由如下，
由、得：，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．