浙江省嘉兴市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省嘉兴市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是( )
A. 必然事件B. 随机事件C. 确定事件D. 不可能事件
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D. 3
3.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知C是线段AB上黄金分割点，，，则AC的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形ABCD，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，点P是等边三角形ABC的重心，，Q是BC边上一点，当时，则BQ的长为( )
A. 1
B.
C.
D. 2
9.如图，AB是一条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结若，，则AC的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数，当时，函数y有最小值，则b的值为( )
A. 或B. 或C. D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若正n边形的一个外角为，则______.
12.如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使∽，请添加一个条件：______.
13.一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为______.
14.某车的刹车距离与开始刹车时的速度满足二次函数，若该车某次的刹车距离为9m，则开始刹车时的速度为______
15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为若直线OP交直线AB于点C，且，则a的值为______.
16.如图，内接于，已知AB是直径，，，点D在直径AB上方的半圆上运动，连结CD交AB于点E，则的最大值为______.
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
已知二次函数的图象经过点
求b的值；
判断是否在该函数的图象上，并说明理由.
18.本小题6分
现有三张正面分别写有1，2，3的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀从中随机抽取一张卡片，求抽取写有1的卡片的概率；
从中随机抽取两张卡片，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明.
19.本小题6分
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上.
画出过A，B，C三点的圆的圆心P；
求AC的长.
20.本小题6分
如图，屋架跨度的一半，高度，现在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且，求天窗高度AC的长.
21.本小题6分
如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为
求截面中弦AB的长；
求截面中有水部分弓形的面积.
22.本小题6分
根据以下素材，探索完成任务.
23.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，且过点，
求抛物线的函数解析式；
将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点P的坐标.
24.本小题8分
如图1，已知AB为的直径，弦于点E，G是上一点，连结AD，AG，
求证：；
如图2，延长AG，DC相交于点F，连结
①已知，，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若，，当时，求的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：
根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
2.【答案】D
【解析】解：，
故选：
把代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】
解：顶点式，顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是
故选
4.【答案】B
【解析】解：点C是线段AB的黄金分割点，且，，
，
故选：
由黄金分割点的定义求出BC的长，即可得出答案．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接BD，
是的直径，
，
，
，
，
故选：
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形，点B的坐标为，
点B的对应点D的坐标为，即，
故选：
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
7.【答案】D
【解析】解：，，
，
大正方形的面积为25，
正方形EFGH的面积为，
该点落在正方形EFGH区域内的概率为
故选：
根据勾股定理先求出AB的长，从而得出三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了几何概率问题，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：点P是等边三角形ABC的重心，
是的中线，BP：：3，
，
，
，
：：：3，
，
故选：
由三角形重心的性质推出DB是的中线，BP：：3，由平行线分线段成比例定理推出BQ：：：3，而，即可求出
本题考查三角形的重心，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，关键是由三角形重心的性质得到DB是的中线，BP：：3，由平行线分线段成比例定理得到BQ：：：
9.【答案】C
【解析】解：延长AC交于点D，连接BD，过B点作于E点，如图，
劣弧沿弦AB翻折，AD交翻折后的弧于点C，
而和都对，
，
，
，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
故选：
延长AC交于点D，连接BD，过B点作于E点，如图，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，再利用等腰三角形的性质得到，接着根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，于是利用面积法可计算出，然后利用搞定了计算出，所以，最后计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
10.【答案】A
【解析】解：二次函数，当时，函数y有最小值，
当时，即时，取得最小值，则，解得，，
当时，即，取得最小值，则，解得，或舍去，
当时，即时，取得最小值，则，解得，舍去，
故b的值为或
故选：
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的数学方法可以求得a的值．
本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】5
【解析】解：正n边形的一个外角为，
，
故答案为：
根据正多边形的性质及其外角和为列式计算即可．
本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加，
，，
∽，
故答案为：答案不唯一
由相似三角形的判定可直接求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：记两个白球分别为白1与白2，画树状图得：
从树状图可看出：共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好颜色不同的结果总数为4种，
所以摸出的两个球恰好颜色不同的概率，
故答案为：
根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】15
【解析】解：当刹车距离为9m时，即可得，
代入二次函数解析式得：
解得，舍，
故开始刹车时的速度为
故答案为：
本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为9m，即是，难度一般．
15.【答案】或
【解析】解：令，则，
，
过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，则点B纵坐标为，
当时，，
解得，，，
，
，
，
当点C在线段AB上时，如图1：
，，
，
当点C在线段AB延长线上时，如图2：
，，
，
，
，
设直线OP解析式为，
把代入，得，
解得：，
；
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
解得：；
综上，a的值为或，
故答案为：或
先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段AB上时，当点C在线段AB延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线OP的解析式为，把点C坐标代入计算即可．
本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与坐标轴交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式等，求出点C的坐标和直线OP的解析式，再把点C的坐标代入直线OP的解析式是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
16.【答案】
【解析】解：连结OD，作于点L，于点F，则，
∽，
，
为定值，
当DL的值最大时，则的值最大，此时的值最大，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，且，
，
，
当时，，
的最大值为，
故答案为：
连结OD，作于点L，于点F，则∽，所以，由CF为定值，可知当DL的值最大时，则的值最大，此时的值最大，由，，，得，则，由，求得，而，则，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
；
在该函数的图象上，
理由：，
二次函数的解析式为，
把代入得：
左边，右边，
即左边=右边，
所以点P在该函数的图象上．
【解析】把点的坐标代入解析式即可求出b的值；
把的坐标代入解析式，看看两边是否相等即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．
18.【答案】解：三张正面分别写有1，2，3的不透明卡片，
从中随机抽取一张卡片，抽取写有1的卡片的概率；
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有2种，
抽取的两张卡片上的数字之和为偶数
【解析】直接利用概率公式求解即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，
则点P即为所求．
由勾股定理得，
【解析】连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心
利用勾股定理计算即可．
本题考查作图-应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．
20.【答案】解：在水平位置，
，
，
，
，
，
，
即天窗高度AC的长为
【解析】根据平行线的性质得出，得出，得出比例式代入数据即可求解．
本题考查了解直角三角形，根据得出是解题的关键．
21.【答案】解：连接OA、OB，过O作，交AB于点E，
弓形的高为6cm，截面半径为12cm，
，
在中，，
，，
，
；
，
，

【解析】连接OA、OB，过O作，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在中利用三角函数的定义可求出，解直角三角形求得AE，进一步求得AB；
由垂径定理可知，，进而可求出的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．
本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键．
22.【答案】解：任务1：由题意，顶点为原点，
可设抛物线为
又由题意，，
，
顶棚部分抛物线的表达式；
任务2：由题意，点，
AD抛物线所对应的表达式为：，
将点D的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
则该抛物线的对称轴为直线，
即OA处喷出的水流在距离O点水平距离为米时达到最高；
任务3：调整喷水口的高度形状不变，使水流喷灌时恰好落在边缘F处：，
则相当于将抛物线向下平移DF的长度，
即将点A向下平移1米．
【解析】任务1：由待定系数法求解即可；
任务2：由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
任务3：调整喷水口的高度形状不变，使水流喷灌时恰好落在边缘F处，则相当于将抛物线向下平移DF的长度，即可求解．
本题考查的是二次函数应用，理解题意，求出函数表达式是解题的关键．
23.【答案】解：把，代入，
则，
解得，
抛物线的函数解析式为；
，
对称轴为直线，
令B点关于对称轴的对称点为，
，
，
抛物线向左平移个单位经过点B，
；
设直线AC的解析式为，
把，代入得：，
解得，
直线AC的解析式为，
过点B作轴交AC于点D，如图：
则点D的纵坐标为2，
把代入得，，
解得，
，
，
，
过点P作轴交AC于点E，
设点，则，
，
，
，
，
令，
解得或2，
当时，；
当时，，
或
【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
由解析式求出对称轴，再求出点B关于对称轴的对称点，求出的长度即可；
先求出直线AC的解析式，再过点B作轴交AC于点D，求出点D的坐标，过点P作轴交AC于点E，设点，则，求出PE的长度，求出的面积，再根据，求出的面积，然后得出关于x的方程，解方程求出x的值即可．
本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．
24.【答案】证明：是直径，，
，
；
解：，，
∽，
，
，
；
②连接，BC，如图：
是直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，DC平分，
，，
，
四边形ADCG是圆的内接四边形，
，，
由可知，
，
∽，

【解析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案；
①证明∽，得出，代入数据求出结果即可；
②连接，BC，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，DC平分，证明∽，得出即可．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．素材1
某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱CE和DF组成，立柱高为1m，顶棚最高点距离地面EF是4m，EF的长为
素材2
为提高灌溉效率，学校在EF的中点M处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器MA，从喷水口A喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点D处.
问题解决
任务1
确定顶棚的形状
以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式.
任务2
探索喷水的高度
问MA处喷出的水流在距离O点水平距离为多少米时达到最高.
任务3
调整喷头的高度
如何调整喷水口的高度形状不变，使水流喷灌时恰好落在边缘F处.