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辽宁省沈阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份辽宁省沈阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了考试结束后，考生将答题卡交回， 命题， 已知集合则， 若正实数满足，则的最小值为， 下列函数中，在上是增函数的是， 已知实数满足， 若，下列不等式中正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题：“”的否定是
A． B．
C． D．
2. 已知集合则
A． B． C． D．
3. 总体由编号为的个个体组成．利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第个个体的编号为
A． B． C． D．
若的平均数是，方差是，则的平均数和方差分别是
A. B. C. D.
5. 若正实数满足，则的最小值为
A． B． C． D．
6. 下列函数中，在上是增函数的是
A． B． C． D．
7. 已知实数满足：，，，则 的大小关系是
A． B． C． D．
8. 定义域为R的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
10.年杭州亚运会上中国选手盛李豪获得男子米气步枪金牌，并打破世界记录，他在决赛的第一阶段成绩（环数）如下表：
则下列说法正确的是
A．成绩的众数是环 B．成绩的极差是环
C．成绩的分位数是环 D．平均成绩是环
11.如图，在直角梯形中，，是线段的中点，线段与线段交于，则
A． B．
C． D．
12.符号表示不超过的最大整数，如，已知函数，则下列说法中正确的是
A. B. 方程有无数个解
C.R， D.方程有个正整数解
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知幂函数的图象经过点，则________．
0
0.024
50
0.036
60
0.020
70
0.008
80
90
EQ \F(频率,组距)
成绩/分
100
14.在某市高一年级举行的一次数学调研考试中，为了了解考生的成绩状况，现抽取了样本容量为的部分学生成绩，作出如图所示的频率分布直方图（所有考生成绩均在，按照分组），若在样本中，成绩在的人数为，则成绩在的人数为________．
15.设是方程的两个实根，则________．
16.若函数在上有个零点，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
设，，.
（1）试用表示；
（2）若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求.
19.（本小题满分12分）
设函数，.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）写出函数的单调区间（直接写出结果）；
（3）若，使成立，求的取值范围.
20．（本小题满分12分）
某企业为了调动员工工作的积极性，提高生产效率，根据员工每小时的生产速度发放奖金，经研究，该企业的奖金发放方案为：当员工生产速度为千克/小时（生产条件要求且匀速生产），其每小时可获得的奖金为元．
（1）判断此奖金发放方案能否使员工每小时获得的奖金随生产速度（）的增加而增加？并证明你的结论；
（2）某天，该企业安排员工甲生产千克该产品，为获得更多的总奖金，该员工应该选取何种生产速度？并求此时获得的总奖金．
21．（本小题满分12分）
已知甲箱中有个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母和小写英文字母；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字.
（1）现从甲箱中任意抽取个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率；
（2）现从乙箱中任意抽取个小球，设“所抽小球上面标注的数字”，记事件，事件，若事件与事件独立，求的值；
（3）在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取次，每次取个小球，求这个小球中至少有个小球上面标有英文字母的概率.
22．（本小题满分12分）
如图，沈阳东塔桥是沈阳唯一一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.
（1）证明:；
（2）当时，求的最小值；
（3）设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. 7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
环数
10.5
10.6
10.3
10.5
10.3
10.6
10.7
10.7
10.5
10.6
2024年沈阳市高中一年级教学质量监测
数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题
1．C2．B3．C4．D5．B6．A7．B8．D
【解析】
1.选C.
2.所以，选B.
3.根据随机数表选数的规则，这6个数分别是08，02，14，07，01，04，注意02出现2次，需剔除1个，所以选C.
4.平均数是，方差是，所以选D.
5.，当且仅当，即时取“=”，所以选B.
6.A选项是幂函数，因为，所以该函数在上是增函数；B、C选项是减函数；D选项是对勾函数，在上是减函数，在上是增函数，所以选A.
7.在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象，其中a是与的交点横坐标，b是与的交点横坐标，c是与的交点横坐标，由图象易知，所以选B.
8.由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，又，所以，所以当时，满足，当时，所以选D. 第7题图
二、选择题
9．BD 10．BC 11．ACD 12．ABD
【解析】
9.因为，所以，又，所以，A选项错误；因为，所以B选项正确；因为，所以C选项正确；由均值不等式得，又，所以不能取等，D选项正确，综上选BD.
10.数据中有3个10.5和3个10.6，所以众数是10.5，10.6，A选项错误；极差是最大值与最小值的差，10.7-10.3=0.4，所以B选项正确；将数据从小到大排列，，所以其25%分位数是第3个数，为10.5，所以C选项正确；数据中2个10.3和2个10.7的平均数就已经达到10.5了，还有3个10.6，所以平均成绩一定大于10.5，D选项错误，综上选BC.
11.因为,又与同向，所以,A选项正确；因为,所以B选项错误；因为点E是线段BC的中点，由向量的中点公式，有，所以C选项正确；因为B、F、D三点共线，所以，又A、F、E三点共线，所以，再由C选项可得，从而有，解得，即，D选项正确，综上选ACD.
12. 由题意知 ，
可画出的图象，如图所示，
因为，所以，故A选项正确；
因为的值域为，所以R，或，故B选项错误；
由图象可知方程的解为，故C选项正确；
因为，所以，所以，所以，所以为，故D选项正确，综上选ABD.
三、填空题
13． 14． 15． 16．
【解析】
13.设，将代入得，所以.
14.由题意，得，所以成绩在的人数为.
15.设，由题意是方程的两个根，由根与系数关系得，即，所以.
16.由题意，解得.
四、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）由题意得集合， ……………… 1分
当时，， ……………… 2分
所以． ……………… 4分
（2）因为“”是“”的必要条件，则， ……………… 5分
因为不等式等价于，所以：
当时，，因此，即；……………… 6分
当时，，结论显然成立； ……………… 7分
当时，，结论显然成立， ……………… 8分
综上，的取值范围是． ………………10分
注：未讨论导致结论错误扣1分；若未讨论的范围，直接由得到范围，可以给满分.
18.（本小题满分12分）
解：（1）设，即，
从而，解得，所以. ……………… 4分
（2）由题意，，
从而，解得， ……………… 7分
此时与反向， ……………… 9分
. ………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）时，显然恒成立；
时，，所以的定义域是R， …… 1分
，即，
所以是奇函数. ……………… 4分
增区间是， ……………… 6分
减区间是. ……………… 8分
令，则，即在上恒成立，…10分
设，因为，当且仅当即时取“=”，所以，所以. ………………12分
注：（1）直接写定义域不扣分，不写扣1分；（2）写成开区间不扣分；（3）不写取等条件扣1分.
20．（本小题满分12分）
解：（1）此奖金发放方案可以使每小时获得奖金随生产速度（）的增加而增加. ……………… 2分（不写定义域不扣分）
证明：任意取，且，
. ……………… 4分
因为，所以，所以，又因为，
所以，
所以在上为增函数，此奖金发放方案可使每小时获得奖金随生产速度（）的增加而增加. ……………… 6分
（2）设所发放的奖金总额为元，
则 ……………… 8分
. ………………10分
所以时，元，即员工甲应以千克/小时的速度生产，此时获得的总奖金为元. ……………… 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题意，样本空间，共包含6个样本点， ……………… 1分
记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”，则，共包含4个样本点. ……………… 2分
所以事件C的概率为. ……………… 4分
（2）由题意，可记事件， ……………… 5分
事件， ……………… 6分
由题意，即，解得. ……………… 8分
（3）由题意，所抽小球上面标注英文字母的概率均为， ……………… 9分
记事件D=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，
则. ………………12分
注：（1）中说出样本空间共6个样本点即可，（3）中没求，结果正确不扣分.
22．（本小题满分12分）
解:（1）因为 ……………… 1分
，
所以. ……………… 2分
， 令，因为，所以，故的最小值即在上的最小值，…3分
当时，在递减，所以； ……………… 4分
当时，； ……………… 5分
当时，在递增，； ……………… 6分
综上，. ……………… 7分
由题意，，时，因为在上为增函数，且，，所以在上存在唯一的实数，使，综上，有唯一的正零点. ……………… 9分
因为，所以，两边同时取对数得；……… 10分
所以. ……………… 11分
因为在上是增函数，所以，
所以，即. ……………… 12分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题：“”的否定是
A． B．
C． D．
2. 已知集合则
A． B． C． D．
3. 总体由编号为的个个体组成．利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第个个体的编号为
A． B． C． D．
若的平均数是，方差是，则的平均数和方差分别是
A. B. C. D.
5. 若正实数满足，则的最小值为
A． B． C． D．
6. 下列函数中，在上是增函数的是
A． B． C． D．
7. 已知实数满足：，，，则 的大小关系是
A． B． C． D．
8. 定义域为R的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
10.年杭州亚运会上中国选手盛李豪获得男子米气步枪金牌，并打破世界记录，他在决赛的第一阶段成绩（环数）如下表：
则下列说法正确的是
A．成绩的众数是环 B．成绩的极差是环
C．成绩的分位数是环 D．平均成绩是环
11.如图，在直角梯形中，，是线段的中点，线段与线段交于，则
A． B．
C． D．
12.符号表示不超过的最大整数，如，已知函数，则下列说法中正确的是
A. B. 方程有无数个解
C.R， D.方程有个正整数解
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知幂函数的图象经过点，则________．
0
0.024
50
0.036
60
0.020
70
0.008
80
90
EQ \F(频率,组距)
成绩/分
100
14.在某市高一年级举行的一次数学调研考试中，为了了解考生的成绩状况，现抽取了样本容量为的部分学生成绩，作出如图所示的频率分布直方图（所有考生成绩均在，按照分组），若在样本中，成绩在的人数为，则成绩在的人数为________．
15.设是方程的两个实根，则________．
16.若函数在上有个零点，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
设，，.
（1）试用表示；
（2）若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求.
19.（本小题满分12分）
设函数，.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）写出函数的单调区间（直接写出结果）；
（3）若，使成立，求的取值范围.
20．（本小题满分12分）
某企业为了调动员工工作的积极性，提高生产效率，根据员工每小时的生产速度发放奖金，经研究，该企业的奖金发放方案为：当员工生产速度为千克/小时（生产条件要求且匀速生产），其每小时可获得的奖金为元．
（1）判断此奖金发放方案能否使员工每小时获得的奖金随生产速度（）的增加而增加？并证明你的结论；
（2）某天，该企业安排员工甲生产千克该产品，为获得更多的总奖金，该员工应该选取何种生产速度？并求此时获得的总奖金．
21．（本小题满分12分）
已知甲箱中有个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母和小写英文字母；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字.
（1）现从甲箱中任意抽取个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率；
（2）现从乙箱中任意抽取个小球，设“所抽小球上面标注的数字”，记事件，事件，若事件与事件独立，求的值；
（3）在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取次，每次取个小球，求这个小球中至少有个小球上面标有英文字母的概率.
22．（本小题满分12分）
如图，沈阳东塔桥是沈阳唯一一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.
（1）证明:；
（2）当时，求的最小值；
（3）设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. 7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
环数
10.5
10.6
10.3
10.5
10.3
10.6
10.7
10.7
10.5
10.6
2024年沈阳市高中一年级教学质量监测
数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题
1．C2．B3．C4．D5．B6．A7．B8．D
【解析】
1.选C.
2.所以，选B.
3.根据随机数表选数的规则，这6个数分别是08，02，14，07，01，04，注意02出现2次，需剔除1个，所以选C.
4.平均数是，方差是，所以选D.
5.，当且仅当，即时取“=”，所以选B.
6.A选项是幂函数，因为，所以该函数在上是增函数；B、C选项是减函数；D选项是对勾函数，在上是减函数，在上是增函数，所以选A.
7.在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象，其中a是与的交点横坐标，b是与的交点横坐标，c是与的交点横坐标，由图象易知，所以选B.
8.由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，又，所以，所以当时，满足，当时，所以选D. 第7题图
二、选择题
9．BD 10．BC 11．ACD 12．ABD
【解析】
9.因为，所以，又，所以，A选项错误；因为，所以B选项正确；因为，所以C选项正确；由均值不等式得，又，所以不能取等，D选项正确，综上选BD.
10.数据中有3个10.5和3个10.6，所以众数是10.5，10.6，A选项错误；极差是最大值与最小值的差，10.7-10.3=0.4，所以B选项正确；将数据从小到大排列，，所以其25%分位数是第3个数，为10.5，所以C选项正确；数据中2个10.3和2个10.7的平均数就已经达到10.5了，还有3个10.6，所以平均成绩一定大于10.5，D选项错误，综上选BC.
11.因为,又与同向，所以,A选项正确；因为,所以B选项错误；因为点E是线段BC的中点，由向量的中点公式，有，所以C选项正确；因为B、F、D三点共线，所以，又A、F、E三点共线，所以，再由C选项可得，从而有，解得，即，D选项正确，综上选ACD.
12. 由题意知 ，
可画出的图象，如图所示，
因为，所以，故A选项正确；
因为的值域为，所以R，或，故B选项错误；
由图象可知方程的解为，故C选项正确；
因为，所以，所以，所以，所以为，故D选项正确，综上选ABD.
三、填空题
13． 14． 15． 16．
【解析】
13.设，将代入得，所以.
14.由题意，得，所以成绩在的人数为.
15.设，由题意是方程的两个根，由根与系数关系得，即，所以.
16.由题意，解得.
四、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）由题意得集合， ……………… 1分
当时，， ……………… 2分
所以． ……………… 4分
（2）因为“”是“”的必要条件，则， ……………… 5分
因为不等式等价于，所以：
当时，，因此，即；……………… 6分
当时，，结论显然成立； ……………… 7分
当时，，结论显然成立， ……………… 8分
综上，的取值范围是． ………………10分
注：未讨论导致结论错误扣1分；若未讨论的范围，直接由得到范围，可以给满分.
18.（本小题满分12分）
解：（1）设，即，
从而，解得，所以. ……………… 4分
（2）由题意，，
从而，解得， ……………… 7分
此时与反向， ……………… 9分
. ………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）时，显然恒成立；
时，，所以的定义域是R， …… 1分
，即，
所以是奇函数. ……………… 4分
增区间是， ……………… 6分
减区间是. ……………… 8分
令，则，即在上恒成立，…10分
设，因为，当且仅当即时取“=”，所以，所以. ………………12分
注：（1）直接写定义域不扣分，不写扣1分；（2）写成开区间不扣分；（3）不写取等条件扣1分.
20．（本小题满分12分）
解：（1）此奖金发放方案可以使每小时获得奖金随生产速度（）的增加而增加. ……………… 2分（不写定义域不扣分）
证明：任意取，且，
. ……………… 4分
因为，所以，所以，又因为，
所以，
所以在上为增函数，此奖金发放方案可使每小时获得奖金随生产速度（）的增加而增加. ……………… 6分
（2）设所发放的奖金总额为元，
则 ……………… 8分
. ………………10分
所以时，元，即员工甲应以千克/小时的速度生产，此时获得的总奖金为元. ……………… 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题意，样本空间，共包含6个样本点， ……………… 1分
记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”，则，共包含4个样本点. ……………… 2分
所以事件C的概率为. ……………… 4分
（2）由题意，可记事件， ……………… 5分
事件， ……………… 6分
由题意，即，解得. ……………… 8分
（3）由题意，所抽小球上面标注英文字母的概率均为， ……………… 9分
记事件D=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，
则. ………………12分
注：（1）中说出样本空间共6个样本点即可，（3）中没求，结果正确不扣分.
22．（本小题满分12分）
解:（1）因为 ……………… 1分
，
所以. ……………… 2分
， 令，因为，所以，故的最小值即在上的最小值，…3分
当时，在递减，所以； ……………… 4分
当时，； ……………… 5分
当时，在递增，； ……………… 6分
综上，. ……………… 7分
由题意，，时，因为在上为增函数，且，，所以在上存在唯一的实数，使，综上，有唯一的正零点. ……………… 9分
因为，所以，两边同时取对数得；……… 10分
所以. ……………… 11分
因为在上是增函数，所以，
所以，即. ……………… 12分
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