河北省邢台市琢名小渔2025-2026学年高三上学期元月检测数学试题解析版

这是一份河北省邢台市琢名小渔2025-2026学年高三上学期元月检测数学试题解析版，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
2.已知集合 ,集合 ,则集合 的子集有
A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 10 个
【答案】C
3.曲线 在点 处的切线斜率是
A. 2 B. 1C. D. 0
【答案】A
【命题说明】改编人教 A 版选择性必修二第 103 页第 4 题
4.袋装食盐标准质量为 ,规定误差的绝对值不超过 就认为合格. 某食盐包装生产线的误差服从正态分布,误差的样本均值为 0 ,样本方差为 4 ,则随机抽取 10000 袋食盐,估计合格的约 ( ) 袋.
[附:若随机变量 服从正态分布 ,则 ,
A. 6827 B. 8161 C. 9545 D. 9759
【答案】C
【命题说明】改编人教 A 版选择性必修三第 87 页第 4 题.
5.已知平面内单位向量 与 垂直,则
A. B. C. 6 D. 13
【答案】A
【命题说明】改编人教 A 版必修二第 36 页第 10 题
【解析】 得 与 垂直,得 ,
6.一个正四面体的内切球体积为 ,则该正四面体的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
7.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】用 表示男孩, 表示女孩,
则样本空间 .
分别设 “该家庭三个孩子中有男孩” 和 “该家庭三个小孩中有女孩”为事件 和事件 ,
则 ,
.
8.函数 的定义域为 ,函数 是函数 导函数,若函数 和 均为奇函数,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数 为奇函数,则 ,
可得 ,
取 则 ,得 ,即 ,进一步得 ①
因为函数 为奇函数,则 ,
所以 ②
由①②得 ,即 ,进而 ,
所以 .
故函数 是以 12 为周期的周期函数,
因为函数 为奇函数，则 ，又 是以 12 为周期的周期函数， 故 ，其它三个选项未知.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,则函数 在区间 内零点可能有 ( ) 个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】BCD
10.若直线 与函数 在 上的图象有三个交点,则 的值可能为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】AB
【解析】 ,作如下图所示:
直线 与函数 有三个交点,可知 或 .
11.双曲线 的左右焦点分别为 为双曲线 上的一点,则下列不正确的是
A. 若 ,则 或
B. 过 的直线与 交于 两点,则 的最小值为
C. 能使 为直角三角形的点 有 8 个
D. 若 为钝角三角形,点 到坐标原点的距离的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题意知双曲线的两个焦点分别为 ,
由双曲线定义知 ,所以 或 ,但是双曲线右支上的点到右焦点的最短距离为 2,所以 不合题意,故 错误.
过 的直线为 轴时,与 交于 两点分别为 ,此时 ,故 错误.
若 为直角三角形,则 均可以为直角,故 正确.
为钝角三角形,点 到坐标原点的距离的取值范围为 ,故 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.抛物线 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是________.
【答案】
【命题说明】改编人教 A 版选择性必修一第 133 页第 3 题(2)，第 138 页第 2 题(2) .
13.将整数 从小到大排成一排,去掉排在奇数位置的数字后,从小到大重新排列, 然后再去掉奇数位置上的数字，从小到大重新排列，依此类推，最后剩下的一个数字为_______.
【答案】 1024
【解析】将数字 1 到 2026 从小到大排成一排,去掉排在奇数位置的数字后,从小到大重新排列为2,4,6,8, ……，2026，共1013个数，形成以 2 为首项，2 为公差的等差数列，然后再去掉奇数位置上的数字，得到 4,8, 12,16, ,2024,共 506 个数,形成以 4 为首项,4 为公差的等差数列,依此类推得到以 8 为首项,8 为公差的数列 253 项. 以 16 为首项, 16 为公差的数列 126 项. 以 32 为首项, 32 为公差的数列 63 项. 以 64 为首项, 64 为公差的数列 31 项. 以 128 为首项, 128 为公差的数列 15 项. 以 256 为首项, 256 为公差的数列 7 项. 以 512 为首项, 512 为公差的数列 3 项. 分别为 512,1024,1536, 故再去掉奇数位置的项最后剩一个数字为 1024 .
【本题还有多种问法,教师降解可补充,如:第三次操作后数列前 项和? 第四次操作后的第 8 个数是多少? 等等】 .
14.如图为无盖正四棱台容器 ，其中 . 现有一只蚂蚁位于正四棱台容器 外壁顶点 处,蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿 再从内壁爬到棱 的中点 处,则它在正四棱台内壁爬行路程为________(容器壁厚度不计).
【答案】
【解析】依题意可得正四棱台 侧面等腰梯形 的内角 ,
将正四棱台内侧面展到梯形 的上方,其中 ,
正好在同一直线上,问题转化求线段 的长度,此时最短,
设棱 的中点为 ,则在 中, ,
则得 .
又 ,所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为 . 故答案为 .
【本题去掉翻越 这个条件,需要讨论多种路线,再找出最短路线】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 的前 项和 ,数列 是等差数列,满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证 .
【解析】(1) 因为数列 的前 项和 ,
所以当 时, .
又 时, ,符合 . 所以 .
因为数列 是等差数列,且 ,则公差 ,
所以 .
故 .
(2)由(1)得: ,
数列 的前 项和为
所以
由①-②得: ,
则 .
又因为 ,所以 .
16.中国防沙治沙成绩斐然，不断书写“绿色奇迹”，截至 2025 年年底，中国 53% 的可治理沙化土地已得到有效治理，沙化土地面积净减少 6500 万亩. 现调查统计了某荒漠地区 2019 ~2025 年绿化面积变化情况，得到如下折线图.
(附: 年份代码 分别对应的年份是 2019 . 经计算得 ,
(1)用线性回归模型拟合 与 的关系,求出相关系数 (精确到 0.01);
(2)求出 关于 的回归方程；
(3)若该荒漠地区原面积共 10 万亩，预测该地区 2026 年绿化面积达到多少亩？
附:(i)相关系数: ;
(ii) 线性回归方程: ,其中 .
【解析】(1) ,
, ,所以相关系数约为 0.88
(2) , (9 分)
.
(3)当 时， ，该地区 2026 年绿化面积为 100000 × 55% = 55000 亩 .
17.如图，在直三棱柱 中， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点， .
(1)求证: ；
(2)点 在线段 上，且 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】【命题说明】改编人教 A 版选择性必修一第 44 页第 16 题
(1) 证明: 是 的中点, ,又
,
，
在直三棱柱 中， ，
所以 面 ,即 面
又 面
所以 .
(2)分别以 所在直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,
由题意设 ,
则 .
设面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
取 得 .
因为 平面 ,所以 ,即 .
所以 ,得 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,取 得 ,
因为 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 的值域；
(3)证明:当 时，不等式 在 上恒成立.
【解析】(1) 由于 ,
所以 ,
当 ,即 时, ;
当 ,即 时, .
所以 的单调递增区间为 ;单调递减区间为 ;
(2) 由 .
【法一】
当 ,即 时, ,此时 ,
当 时,
设 ,得 ,再设 ,
当 时, .
当 时 且 ,
又 ,所以 ,
综上得 的值域为 .
【法二】 ,
设 ,得 ,
整理得 ,①
当 时,存在 成立.
当 时,①式可得 ,
因为 ,
所以 ,两边平方得 ,解得 ,
综上得 的值域为 .
(3)欲证 在 时恒成立，
即 ,等价于 ,
即 对任意的 恒成立,
设 ,则 ,
由( 2 )知 ，
所以当 时， 恒成立， 在 是增函数，又 .
所以 ,即 ,即 ,
所以 时等式 对任意的 恒成立.
19.已知直线 与椭圆 交于 两点， 的中点为 .
(1)求证:直线 ( 为坐标原点)的斜率与直线 斜率之积为定值；
(2)(i)若直线 过右焦点 ，直线 与直线 交于点 ，判断以线段 为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由；
(ii) 若 ，求点 的轨迹方程.
【解析】 (1)【法一】由题意联立直线与椭圆方程 ,
消 并整理得 ,
令 ,设 , 则 ,
又 ,可得线段 中点 的坐标为 ,
又 ,所以直线 的斜率为 . ,
所以直线 的斜率与直线 斜率之积为定值.
【法二】由题意设 ,因为 两点在椭圆 上,
所以 ,
将两式相减得 ,
,又直线 的斜率为 ,直线 斜率为 ,
所以直线 的斜率与直线 斜率之积为定值 .
(2)(i)当直线 过点 时，可知直线 方程为 ，
且由 (1) 可得直线 的斜率 ，所以直线 为 .
可求得直线 与直线 交于点 .
则直线 的斜率为 ,故 ,
此时以线段 为直径的圆过定点 .
故以线段 为直径的圆过定点,该定点坐标为 .
(ii) 直线 斜率存在时设点 ,则 .
由题意可得 ,且 ,故 .
,消 并整理得 ,
令 得 ,设 ,则 ,
得
又 ,得 ,
两边平方得 .
又因为 ①
将①代入 ，得
将①代入 ，
整理得
展开整理得 ,
当直线 斜率不存在时,易得点 满足上式,
故若 ,点 的轨迹方程 .