甘肃省张掖市肃南县明花学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份甘肃省张掖市肃南县明花学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了下列是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题3分，满分18分）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．x3+x2﹣x+2＝0B．ax2+bx+c＝0
C．x2+x﹣4＝0D．y2﹣2x﹣1＝0
2．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（ ）
A．13B．23C．19D．49
3．如图是由正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．C． D．
4．关于反比例函数y=13x，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
5．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子中，不成立的是（ ）
A．ADDB=AEECB．ABDB=ACECC．ABAD=ACAED．ADDB=AEAC
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD上的动点，且∠EAF＝45°，BD交AE和AF于M、N两点．下列结论：①EF＝BE+DF；②MN＝BM+DN；③AE平分∠BEF；④当E为BC中点时，CF＝2DF，其中正确的结论是（ ）
A．②④B．①②③C．①③D．①③④
二．填空题（每小题3分，满分18分）
7．若3a＝2b，则ba的值为 ．
8．已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 ．
9．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数y=kx的图象上，过点A作AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，连接BE，则△ABE的面积为 ．
11．学习相似三角形后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小华的身高是1.5m，他在路灯下的影长为2m，小华距路灯灯杆的底部4m，则路灯灯泡距地面的高度是 m．
12．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC，点E在BD边上，且BE＝AB，连接CE交AB于点P，若AC=82，AD＝6，则EP的长为 ．
三．解答题
13．（6分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝x﹣1．
14．（6分）袋子中有3个红球，2个黄球．甲先从中任取一个球，取后不放回，乙再从中任取一个球，用表格列举试验结果，分别求出下列事件的概率．
（1）甲取到红球；
（2）乙取到红球；
（3）两人都取到红球．
15．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，ABAD=BCDE=ACAE．求证：∠BAD＝∠CAE．
16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是此方程的两个实数根，满足x1＞x2且x1＝2x2，求m的值．
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，P，M分别是AD，CD的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，以PM为边作一个非特殊的平行四边形；
（2）在图2中，以PM为边作一个菱形．
四．解答题
18．（8分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交BQ于点BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）如图2，若AP：BP＝1：2时，则CQ的长是多少？
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出不等式kx+b＜mx的解集．
（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，F为BE的中点，G为BC的中点，连接FG．已知AB＝9，BC＝21．
（1）求AE的长．
（2）求FG的长．
五．解答题
21．（9分）“农产品网店”从农户手中以每袋25元的价格收购了一批农产品，在“农产品网店”上销售．已知七月份销售该农产品256袋，八月、九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求这批农产品八月、九月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）设点M在反比例函数图象上，连接MA、MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的14，求点M的坐标．
六．解答题
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．
（1）试判断四边形ABCE的形状，并证明你的结论；
（2）P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R，如图2．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
参考答案
一．选择题
1．C．
2．C．
3．C．
4．C．
5．D．
6．D．
二．填空题
7．32．
8．16．
9．35．
10．3．
11．92．
12．1255．
三．解答题
13．解：（1）x2+4x﹣2＝0，
x2+4x＝2，
x2+4x+4＝2+4，
（x+2）2＝6，
x+2＝±6，
x1＝﹣2+6，x2＝﹣2−6；
（2）3x（x﹣1）＝x﹣1，
3x （x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2=13．
14．解：所有等可能结果如表所示：
由表可知，（1）P（甲取到红球）=35；
（2）P（乙取到红球）=35；
（3）P（甲乙两人都取到红球）=310．
15．证明：∵ABAD=BCDE=ACAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
16．（1）证明：∵一元二次方程为x2﹣2mx+m2﹣1＝0，
∴判别式Δ＝（﹣2m）2﹣4•1•（m2﹣1）＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4，
∵Δ＝4＞0，
∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1和x2是方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的实数根，
∴x1+x2=2m，x1x2=m2−1，
∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝2m，即3x2＝2m，
∴x2=2m3，
∴x1x2=2x2⋅x2=2x22=m2−1，
代入x2=2m3，得2(2m3)2=m2−1，
∴8m29=m2−1，
∴8m29−m2=−1，
∴−m29=−1，
∴m2＝9，
∴m＝3或m＝﹣3，
∵x1＞x2，且x1＝2x2，
∴x2＞0，
当m＝3时，x2=2×33=2＞0，符合条件；
当m＝﹣3时，x2=2⋅(−3)3=−2＜0，不符合条件；
∴m＝3．
17．解：（1）如图1，四边形POCM即为所求．理由如下：
由条件可知OA＝OC，
∵P，M分别是AD，CD的中点．
∴PO∥CD，PM∥AC，PO=12CD，PM=12AC，
而AC≠CD，∠OPD＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形POCM为平行四边形，PO≠PM，∠OPM≠90°．
（2）如图2，四边形PEFM即为所求．理由如下：
同理可得PO=12CD，OF=12CD，PO∥CD，OM=12AD，OE=12AD，OM∥AD，
由条件可知∠OPD＝∠OMD＝90°，
∴四边形POMD是矩形；
∴∠POM＝90°，即PF⊥EM，
∴四边形PEFM为菱形．
四．解答题
18．解：（1）由折叠可得PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠PFE，
∴∠EPF＝∠PFE，
∴PE＝EF
∴PB＝PE＝BF＝EF，
∴四边形BFEP是菱形；
（2）如图：
∵APBP=12，AB=3，
∴PE＝BP＝2，
在Rt△APE中，由勾股定理可得，
∴AE=3，
作QH⊥AD，
∴AH＝BQ，HQ＝AB＝3，
设BQ＝x，
∴EH＝x−3，
由折叠可得，
EQ＝BQ＝x，
在Rt△APE中，由勾股定理可得，
x2＝32+(x−3)2，
解得：x=23，
∴BQ=23，
∵AD＝5，
∴CQ=5−23．
19．解：（1）∵反比例函数y=mx的图象过点A（1，8），
∴m＝1×8＝8，
∴反比例函数解析式为y=8x，
把B（n，﹣2）代入y=8x得，﹣2=8n，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣2），
把A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b得，
k+b=8−4k+b=−2，
解得k=2b=6，
∴一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，kx+b＜mx，
∴不等式kx+b＜mx的解集为x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）如图，连接OA、OB，
把x＝0代入y＝2x+6得，y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×6×1+12×6×4=15．
∴△AOB的面积为15．
20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝9，
∴AE＝9；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝90°，
∵BC＝21，AE＝9，
∴DE＝AD﹣AE＝21﹣9＝12，
在Rt△EDC中，CE=CD2+DE2=92+122=15，
∵F为BE的中点，G为BC的中点，
∴FG=12EC=152．
五．解答题
21．解：（1）设这批农产品八月、九月这两个月销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这批农产品八月、九月这两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该农产品每袋降价y元，则每袋的销售利润为（40﹣y﹣25）元，平均每月的销售量为（400+5y）袋，
根据题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元．
22．解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，则AD∥OB，如图1所示．
∵点D的坐标为（4，3），
∴CF＝4，DF＝3，
∴OD=CF2+DF2=42+32=5．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，AD∥OB，
∴A，D，F三点共线，
∴点A坐标为（4，8）．
∵点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×8＝32；
∴y=32x；
（2）由（1）知：反比例函数的关系式为y=32x（x＞0），
设点M的坐标为（m，32m），
∵△MAD的面积是菱形ABCD面积的14，
∴12•AD•|xM﹣xD|=14OB•xD，
12×5×|m﹣4|=14×5×4，
∴m＝6或2，
∴M（6，163）或（2，16）．
六．解答题
23．解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC＝AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）①不变；
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴S△PBO＝S△QEO，
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED＝AC＝6，
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED，
∴S四边形PQED＝S△QEO+S四边形POED
＝S△PBO+S四边形POED
＝S△BED
=12BE⋅ED
=12×8×6
＝24；
②如图，
若点P在BC上运动，使点R与C重合，
由菱形的对称性知，O为PQ的中点，
∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，
∴CO＝PO＝OQ，
∴∠OPC＝∠OCP，
此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，
∴PR：CO＝PQ：BC，
即PR：3＝6：5，
∴PR=185，
∴PB=BC−PR=5−185=75．
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