2024年各省市中考数学试卷分类汇编知识点29 直角三角形、勾股定理（Word版附解析）

这是一份2024年各省市中考数学试卷分类汇编知识点29 直角三角形、勾股定理（Word版附解析），共8页。

A．10-2B．6-2C．22-2D．22-6
【答案】B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴AB＝22，AH＝BH＝CH=2.∵CD＝AB＝22，∴DH=CD2-CH2=8-2=6，∴DB=6-2.故选B．
陕西省
5．【2024·陕西】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C【解析】因为∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形．因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形，所以图中的直角三角形共有4个．故选C．
四川省
9．【2024·资阳】第14届国际数学教育大会（ICME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．55B．35C．45D．255
【答案】C【解析】根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，∴AE＝4x.∵∠AEB＝90°，∴AB=AE2+BE2=5x，∴sin∠ABE=AEAB=4x5x=45.故选C．
11．【2024·眉山】如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．44
【答案】D【解析】如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c.∵图1中大正方形的面积是24，∴a2+b2＝c2＝24.∵小正方形的面积是4，∴（a−b）2＝a2+b2−2ab＝4，∴ab＝10，∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×12ab＝24+2×10＝44.故选D．
10．【2024·南充】如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为55+5．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D【解析】在Rt△ADF中，tan∠ADF=AFDF=34．令AF＝3x，DF＝4x，则（3x）2+（4x）2＝102，
解得x＝2（舍负），所以AF＝6，DF＝8．因为外部的四个直角三角形全等，所以DE＝AF＝6，所以EF＝8−6＝2．故①正确．因为Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，所以12BG⋅AG=3FG2．因为BG＝AF＝AG−FG，
所以12(AG-FG)⋅AG=3FG2，整理得，6FG2+FG•AG−AG2＝0．则6(FGAG)2+FGAG-1=0，解得FGAG=13（舍负），
则点F是AG的三等分点．故②正确．由旋转可知，∠AG′D＝∠AGB＝90°，所以点G′在以AD为直径的圆上．在Rt△ABM中，BM=52+102=55．当点B，M，G′共线时，BG′取得最大值，此时BG′=55+5．
故③正确．故选D．
浙江省
8．【2024·浙江A卷8题（回忆版）】如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（ ）
A．5B．26C．17D．4
【答案】C【解析】∵Rt△DAH≌Rt△ABE，∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，∴EH＝AE−AH＝4-3＝1，∵四边形形EFGH是正方形，∴∠DHE＝90°，∴DE=DH2+EH2=42+12=17，故选C．
青海省
7．【2024·青海】如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．3D．33
【答案】A
二、填空题
吉林省
13．【2024·吉林】图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
【答案】x2+22＝（x+0.5）2
湖北省
15．【2024·武汉】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示S1S2的值是 ．
【答案】k2+1(k-1)2【解析】方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G.
∵AG∥BP，∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，∴△AGE∽△PBE，∴AGBP=AEBE=1k.
设AG＝1，则BP＝k，∵∠NMP＝45°，∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1.
∵AN＝BP＝k，∴MN＝k−1.
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k−1）2，∴S1S2=k2+1(k-1)2.
方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形，
易证△GBA≌△PBC，∴∠BGP＝∠AGP＝45°.根据角平分线比例定理得AGBG=AEBE=1k，
设AG＝1，则BG＝k，∴AM＝1，MD＝k＝AN，∴MN＝k−1.
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k−1）2，∴S1S2=k2+1(k-1)2.故答案为k2+1(k-1)2．
四川省
16．【2024·资阳】在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 ．
【答案】2＜AB＜8【解析】如图，当CB1⊥AB1时，此时AB最短，AB1=12AC＝2，当B2C⊥AC时，此时AB最长，AB2＝2AC＝8，所以边AB长的取值范围是2＜AB＜8，故答案为2＜AB＜8．
24．【2024·甘孜州】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 .
【答案】3【解析】∵折叠，∴AE＝BE，∵AC＝8，∴AE＝AC−CE＝8−CE，∴BE＝8−CE，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴16+CE2＝（8−CE）2，解得CE＝3．故答案为3．
15．【2024·达州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ．
403【解析】过D作DE⊥AB，交AB于点E，∴∠DEA＝∠DEB＝90°.∵∠C＝90°，AC＝4，CD＝1，
∴AD=AC2+CD2=17，∵∠DEA＝90°，∠BAD＝45°，∴AE＝DE＝AD•sin∠EAD=342.∵∠DEB＝90°，∠C＝90°，∴BE2+DE2＝BD2，AC2+BC2＝AB2，即BE2+344=BD2①，（BD+1）2+16＝（342+BE）2②，①变形得，BE=BD2-344 ③，②化简得，BD2+2BD+17=344+34BE+BE2④，将①、③代入④并化简得，15BD2−34BD−172＝0，（BD＞0）解得：BD=173，∴BC=203，∴S△ABC=12AC•BC=403，故答案为：403．
广东省
13．【2024·深圳13题（回忆版）】如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B=512．D为BC上一点，且满足BDCD=85，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则CEAC= ．
【答案】2021【解析】方法一：如图，过点A作AH⊥CB于点H，作CM⊥AD于点M，∵AB＝BC，BDDC=85，设BD＝8a，则CD＝5a，∴BC＝AB＝BD+CD＝13a，∵tanB=512，∴AH＝5a，BH＝12a，∴DH＝BH−BD＝4a，CH＝a，在Rt△ACH中，AC=AH2+CH2=26a，在Rt△ADH中，AD=AH2+DH2=41a，∴cs∠ADC=DHAD=44141，∴DM＝CD•cs∠ADC=204141a，∴AM＝AD−DM=214141a，∴CEAC=DMAM=2021．
故答案为：2021．
方法二：如图过A作AH⊥BC于点H，DM⊥AE于点M，同方法一∵AB＝BC，BDDC=85，设BD＝8a，则CD＝5a，∴BC＝AB＝BD+CD＝13a，∵tanB=512，∴AH＝5a，BH＝12a，∴DH＝BH−BD＝4a，CH＝a，在Rt△ACH中，AC=AH2+CH2=26a，在Rt△ADH中，AD=AH2+DH2=41a，∵S△ADC=12AH•CD=12AC•DM
∴DM=252626a，AM=AD2-DM2=212626a，有射影定理可知：AD2＝AM•ME，∴AE=412621a，CE＝AE−AC=202621a，∴CEAC=2021．故答案为：2021．
方法三：如图所示建立直角坐标系，由前述方法可得OA＝5，0D＝4，BD＝8，OC＝1，∴A（0，5），C（1，0），D（−4，0），∴AC解析式：y＝−5x+5，AD解析式为：y=54x+5，∵AD⊥DE，∴DE解析式为：y=-45x-165，
联立AE和DE解析式得：E（4121，-10021）∴CEAC=|yEyC|=2021．故答案为：2021．
甘肃省
14. 【2024·兰州】如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则______ ．
【答案】2【解析】∵四边形为正方形，为等边三角形，，，
∴，∴，∴.故答案为2．
三、解答题
四川省
27．【2024·甘孜州】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠4＝45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC＝13，AD＝5，求EF的长．
解：（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°＝∠A，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠ABC，∴∠2＝∠3.
（2）①BC＝BD，理由如下：设∠2＝∠3＝x，
∴∠BFE＝90°−x＝∠DFC，
∵∠4＝45°，
∴∠CDB＝180°−45°−（90°−x）＝45°+x，
∵∠BCD＝∠4+∠2＝45°+x，
∴∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD.
②∵BC＝BD＝13，AD＝5，
∴AB=BD2-AD2=169-25=12，
∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3，
∴△ADB≌△EBC（AAS），∴BE＝AD＝5，
∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3，∴△EFB∽△ADB，
∴EFAD=BEAB，∴EF5=512，∴EF=2512．
青海省
21．【2024·青海】（1）解一元二次方程：x2−4x+3＝0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
解：（1）x2−4x+3＝0，
∴（x−1）（x−3）＝0，
∴x−1＝0或x−3＝0，
∴x1＝1，x2＝3.
（2）当3是直角三角形的斜边时，第三边=32-12=22，
当1和3是直角三角形的直角边时，第三边=12+32=10，
∴第三边的长为22或10．