2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点29 直角三角形、勾股定理（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点29 直角三角形、勾股定理（Word版附解析），共19页。
A．∠BEAB．∠DEBC．∠ECAD．∠ADO
【答案】B【解析】 由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选：B．
10．【2023·淄博】勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为5：1，则sin∠DGE等于（ ）
A．1010B．55C．31010D．255
【答案】A【解析】过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为5x，小正方形的边长为x，即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG=2b，由题意得：a2+b2=(5x)2a-b=x，解得：a=2xb=x，在△GDE中，EG=2GH=2b，则NE＝ND=22ED=22b=22x，EG=2GH=2（a﹣b）=2x，则tan∠DGE=NDGN=22x22x+2x=13，则sin∠DGE=1010，故选：A．
9．【2023·呼和浩特】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC=42，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（ ）
A．13B．13C．8D．132
【答案】D【解析】 如图连接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝BC，点P为AC边上的中点，∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP=12∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP=12AC＝22．∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．∴∠BPM＝∠CPN．又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，∴△BMP≌△CNP（ASA）．∴BM＝CN＝1，MP＝NP．在Rt△BPC中，BC=BP2+CP2=4．∴在Rt△MBN中，MN=BM2+BN2=12+52=26．又在Rt△MPN中，MP＝NP，∴MP2+NP2＝MN2．∴MP＝NP=13．∴S△PMN=12MP•NP=132．故选：D．
宁夏
6．【2023·宁夏6题】将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A．2-3B．23-2C．2D．23
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【答案】C【解析】在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD.∴AD＝CD＝2cm.在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°.∴BC＝2CD＝4cm.∴BD=BC2-CD2=42-22=23（cm）.∴AB＝BD﹣AD＝（23-2）（cm）．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
北京
8.【2023·北京8题】如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D 【解析】如图，过作于，则四边形是矩形．∴.∵.∴.①正确；∵，∴，，，.∴，.∴是等腰直角三角形.由勾股定理得，.∵，∴.②正确；由勾股定理得，即，∴.③正确.故选D．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
河北省
11．【2023·河北11题】如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（ ）
A．43B．83C．12D．16
【答案】B【解析】∵四边形AMEF是正方形，又S正方形AMEF＝16，∴AM2＝16．∴AM＝4．在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，∴AM=12BC，即BC＝2AM＝8．在Rt△ABC中，AB＝4，∴AC=BC2-AB2=82-42=43．∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×43=83．
浙江省
8．【2023·温州】图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（ ）
A．3B．32C．2D．43
【答案】C【解析】∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF.∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23.∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°.∴BE=32EF=3.∵EH⊥AB，∴EH∥OA.∴EHOA=BEOB，即EH32=333，∴EH=2．
10．【2023•杭州】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C【解析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b.∵tanα=ab，tanβ=ab-a，tanα＝tan2β，∴ab=(ab-a)2.
∴（b﹣a）2＝ab.∴a2+b2＝3ab.∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3.∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解题的关键．
10．【2023·金华】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则S四边形PCQES正方形ABEF的值是（ ）
A．14B．15C．312D．625
【答案】B【解析】由正方形的性质得AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，则∠BAC＝∠FAH＝90°﹣∠CAF，可证明△ABC≌△AFH，∴BC＝HF，而HF＝FG，∴BC＝FG.
∠CBQ＝90°﹣∠BPE＝90°﹣∠FPG＝∠GFP，易证△BCQ≌△FGP（ASA），得CQ＝GP.
设AC＝AH＝GH＝2m，则HF＝FG＝BC＝m，可得BE＝AF=5m.
由CQBC=GPFG=tan∠GFP＝tan∠HAF=HFAH=12，得CQ=12BC=12m.
由∠E＝∠BCQ＝90°，得PEBE=CQBC=12=tan∠PBE，∴PE=12BE=52m.
∴S四边形PCQE=12×5m×52m-12m×12m＝m2.
∵S正方形ABEF＝（5m）2＝5m2，∴S四边形PCQES正方形ABEF=m25m2=15．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△ABC≌△AFH及△BCQ≌△FGP是解题的关键．
10．【2023·丽水】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ）
A．2B．22C．2D．1
【答案】A【解析】方法一：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作GH⊥BC于点H，交AD的延长线于点G，则AF∥GH.∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四边形AFHG是矩形.∴∠FAG＝90°.∵△ABE是等腰直角三角形，∠BAE＝90°,∴AB＝AE.∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG.∴△AFB≌△AGE（AAS）.∴AF＝AG.∴矩形AFHG是正方形.∴AG＝GH.∵AG∥BC，∴∠EDG＝∠C＝45°.∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形.∴DG＝EG，CH＝EH＝AD＝1.由勾股定理得CE=12+12=2．
湖南省
5．【2023·株洲】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝（ ）
​
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
【答案】 B
江苏省
【2023·徐州8题】如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 1或D. 1或2
【答案】D【解析】∵，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∴，①当点E为的中点时，如图，

∴，
②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，综上所述：或2．
内蒙古
7．【2023·包头】如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则csα的值为（ ）
A．34B．43C．35D．45
【答案】D【解析】∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，设直角三角形较短的直角边为a(a＞0)，则较长的直角边为a+1.由勾股定理得a2+（a+1）2＝52，解得a＝3，∴a+1＝4，∴csα=45．
山东省
7．【2023·菏泽】△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+2a-b-3+|c﹣32|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【答案】D 【解析】由题意得a-b=02a-b-3=0c-32=0，解得a=3b=3c=32，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，
【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
9．【2023·济宁】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．
【答案】C 【解析】如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
四川省
9．【2023·泸州】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12（m2﹣n2），b＝mn，c=12（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
【答案】C【解析】∵当m＝3，n＝1时，a=12（m2﹣n2）=12（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c=12（m2+n2）=12×（32+12）＝5，∴选项A不符合题意；∵当m＝5，n＝1时，a=12（m2﹣n2）=12（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c=12（m2+n2）=12×（52+12）＝13，∴选项B不符合题意；∵当m＝7，n＝1时，a=12（m2﹣n2）=12（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c=12（m2+n2）=12×（72+12）＝25，∴选项D不符合题意；∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，∴选项C符合题意，故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
7．【2023·德阳】如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，点F是AB边的中点，则DF＝（ ）
A．54B．52C．2D．1
【分析】先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC＝5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位线定理求出DF=12AE=54．
【答案】A【解析】∵∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，∴DC=AD2+AC2=32+42=5，∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，∴DE＝EC＝AE=52，∵BD＝DE，点F是AB边的中点，∴DF=12AE=54．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．
二、填空题
16．【2023·衢州】下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cs∠ABC=34，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
（2）若PQBQ=1915，则BKAK= ．
【答案】（1）9 （2）259 【解析】 （1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cs∠ABC=34，∴cs∠BCT=34，即CTBC=34，∴CT=34BC，∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cs∠ACM＝cs∠ABC=34，即CMAC=34，∴CM=34AC，∴CT•CM=34BC•34AC=916BC•AC，
∵△ABC的面积为16，∴12BC•AC＝16，∴BC•AC＝32，∴CT•CM＝18，∴纸片Ⅲ的面积为12CT•BT=12CT•CM＝9；故答案为：9；
（2）如图：
∵PQBQ=1915，∴NTBT=1915，设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴BTWT=CTBT，∴CT•WT＝BT2，∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；当CT＝25t时，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴BKAK=259．
故答案为：259．
16．【2023·南通】勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2-12，c=12m2+12，m是大于1的奇数，则b＝ （用含m的式子表示）．
【答案】m 【解析】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a=12m2-12，c=12m2+12，∴b2＝c2﹣a2＝（12m2+12）2﹣（12m2-12）2=14m4+14+12m2﹣（14m4+14-12m2）=14m4+14+12m2-14m4-14+12m2＝m2，∵m是大于1的奇数，
∴b＝m．故答案为：m．
11．【2023·镇江】《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步（注：“步”为长度单位）．
【答案】6 【解析】根据勾股定理得：斜边为82+152=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15-172=3（步），即直径为6步，故答案为：6．
江西省
12．【2023•江西12题】如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 ．
【答案】90°或180°或270°【解析】由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．
如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．∵P3C＝2AB＝BC，∠B＝60°，∴△P3BC为等边三角形.∴AC⊥AB．
在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴CD⊥AC．∴∠ACD＝90°.∴当P在直线AC上时，符合题意.∴α1＝90°，α2＝270°．连接P3D，∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，∴四边形ACDP3为平行四边形．∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，
即P运动到P3时符合题意．∴α3＝180°．记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．
AG=AC2+CG2=BC2-AB2+CG2=(2CD)2-CD2+(12CD)2=132CD＞32CD，∴⊙A与⊙G相离.
∴∠DPC＜90°．故答案为：90°或180°或270°．
湖南省
14．【2023·郴州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝ ．
【答案】5
17．【2023·株洲】《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘＝112宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 度．
​
【答案】22.5 【解析】∠A＝1矩=90°，∠B＝1欘=45°+12×45°=67.5°．∴∠C＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°．
湖北省
12．【2023·荆州】如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ ．
【答案】3
15．【2023·黄冈】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2= ．
【分析】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即b2a2-ba-1=0，解方程得到ba=5+12（负值舍去）代入进行计算即可得到结论．
【答案】 3【解析】∵图中AF＝a，DF＝b，∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，∵△ADE与△BEH的面积相等，∴12DE⋅AF=12EH⋅BH，∴12a2=12(b-a)⋅b，∴a2＝b2﹣ab，∴1＝（ba）2-ba，∴b2a2-ba-1=0，解得ba=5+12（负值舍去），∴b2a2+a2b2=(5+12)2+(25+1)2=3，故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于ba的方程是解题的关键．
14．【2023·随州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【答案】5【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，CD=DEBD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，B=AC2+BC2=82+62=10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．
15．【2023·恩施州】《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【答案】8，6，10【解析】设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．
【点评】本题考查勾股定理的应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
江苏省
16．【2023·苏州】如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝ ．（结果保留根号）
【答案】1+【解析】如图，过E作EQ⊥CQ于Q，设BE＝x，AE＝y，∵BE＝CD，ED＝2AE，∴CD＝3x，DE＝2y，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，∴BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE为等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，∴AQ＝x，由勾股定理可得：，整理得：x2﹣2x﹣6＝0，解得：x＝1±，经检验x＝1﹣不符合题意；∴BE＝x＝1+.
辽宁省
16．【2023·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在直线AC上，AD＝1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为 ．
【分析】连接OC，过点O作ON⊥BC于N，分两种情况：①当D在线段AC上时，由勾股定理可得BD的长，再由直角三角形的性质可得CE＝CD＝2，最后根据勾股定理可得答案；②当D在CA延长线上时，则CD＝AD+AC＝4，根据直角三角形的性质可得EN＝CE﹣CN＝4-32=52，最后根据勾股定理可得答案．
【答案】52或412【解析】当在线段上时，连接OC，过点O作ON⊥BC于N，①如图1当D在线段AC上时，∵AD＝1，∴CD＝AC﹣AD＝2，∵∠BCD＝90°，∴BD=CD2+BC2=22+32=13，∵点O是线段BD的中点，∴OC＝OB＝OD=12BD=132，∵ON⊥BC，∴CN＝BN=12BC=32，∵DE∥AB，∴∠COE＝∠A＝∠CBA＝∠CED＝45°，∴CE＝CD＝2，∴NE＝2-32=12，∵ON=CO2-CN2=1，∴OE=ON2+NE2=12+(12)2=52，②如图2当D在CA延长线上时，则CD＝AD+AC＝4，∵O是线段BD的中点，∠BCD＝90°，∴OC＝OB＝OD=12BD，∵ON⊥BC，∴CN＝BN=12BC=32，∵OB＝OD，∴ON=12CD=2，∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠COE＝∠CBA＝∠CED＝45°，∴CE＝CD＝4，∴EN＝CE﹣CN＝4-32=52，∴OE=EN2+ON2=22+(52)2=412，∴OE的长为52或412．
【点评】此题考查的是等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，进行分类讨论是解决此题的关键．
14.【2023·大连】 如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为_______________．
【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
【答案】【解析】∵，，，在中，，
∴，∴，为原点，为正方向，则点的横坐标为；故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
四川省
17．【2023·巴中】如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG＝，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 ．
【分析】根据同角的余角相等可得∠DGH＝∠ABG，进而得到tan∠DGH＝tan∠ABG＝，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝4，于是可求得＝，DG＝4，在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH＝2，于是可求得GH＝＝，在Rt△BGH中，利用勾股定理即可求解．
【答案】10【解析】∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴∠A＝∠BGF＝∠D＝90°.∴∠AGB+∠DGH＝90°.∵∠AGB+∠ABG＝90°，∴∠DGH＝∠ABG.∴tan∠DGH＝tan∠ABG＝.∵正方形ABCD的边长为8，∴AB＝AD＝8.在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝8×＝4，∴＝＝.∴DG＝AD﹣AG＝4.在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH＝＝2，∴GH＝＝＝.在Rt△BGH中，＝＝10．
【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，利用同角的余角相等推出∠DGH＝∠ABG，再根据锐角三角函数和勾股定理求出相应线段的长度是解题关键．
三、解答题
19．【2023·湖州】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=12BC，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴AB=AD2+BD2=122+52=13，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴DE=12AB=132．
广西
21．【2023·广西21题】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°．
（1）在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若OB＝2，求AB的长．
【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点O，则问题可求解；
（2）根据含30度直角三角形的性质可得AC＝2BC，则有 OC＝AO，进而问题可求解．
解：（1）所作线段AO如图所示：
（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2BC.
∵AO＝BC，∴AC＝2AO.
∴OC＝AO，即点O为AC的中点.
∵OB＝2，∴AC＝2OB＝4.
∴BC＝2.∴AB=AC2-OB2=23．
【点评】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
四川省
19．【2023·广元】如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
解:（1）如图①以AB为对角线，如图②以AD为对角线，如图③以BD为对角线；
分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
∵AB＝AC＝BC＝4，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝2，∴AD＝23，
如图①所示：四边形ACBD是矩形，则其对角线AB的长为4；
如图②所示：AD＝23，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，
则EC＝23，BE＝2BD＝4，∴BC＝27；
如图③所示：过点A作AE⊥CB，交CB延长线于E，连接AC，
∴BD＝2，
由题意可得：AE＝2，EC＝2BE＝8，
∴AC=AE2+EC2=4+64=217，
综上所述，对角线的长度可能为2，23，27，2，217．