广西邕衡教育·名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试卷（Word版附解析）（北师大版）

这是一份广西邕衡教育·名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试卷（Word版附解析）（北师大版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．
C．D．
2．在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线的焦点F的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
4．圆D：和圆E：位置关系是（ ）
A．外切B．相交
C．外离D．内含
5．若直线与直线互相平行，则实数（ ）
A．B．或
C．D．
6．若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．，
7．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（ ）
A．B．
C．D．
8．抛物线的标准方程为，直线与抛物线交于，两点，取线段的中点为，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中正确的个数为（ ）
①若直线过抛物线的焦点，则；②若，，则；③若以为直径的圆过原点，则面积的最小值为.
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线l：与圆相交
B．过点且与圆相切的直线的方程为和
C．圆与圆相交，且相交弦所在直线方程为
D．过点作圆的切线，切点为A，B，则直线AB的方程为
11．在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且，则（ ）
A．
B．面
C．异面直线所成角正切值为
D．在四边形内（含边界）存在唯一的点，使得平面
三、填空题
12．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 .
13．椭圆的焦距为2，则 .
14．已知函数的图象可由某双曲线绕原点逆时针旋转得到，则曲线C：的离心率为 .
四、解答题
15．已知二项式展开式.
(1)和的值；
(2)求的值.
16．在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆.
(1)求直线l的方程和圆C的方程；
(2)P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值.
17．一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖.
(1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率；
(2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率；
(3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差.
18．在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求锐二面角余弦值的最小值.
19．已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T.
(1)当，求的面积；
(2)求动点T的轨迹C的方程；
(3)若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程.
参考答案
1．B
【详解】设其倾斜角为，则，因为，
则.
故选：B.
2．B
【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数，
则点N坐标为.
故选：B.
3．C
【详解】因为抛物线变形得.
易知，所以，抛物线开口向上，所以焦点坐标为.
故选：C.
4．A
【详解】两圆的圆心分别为，，，，
.
故选：A.
5．B
【详解】因为直线与直线互相平行，
则，解得或，
故选：B.
6．C
【详解】依题有，所以，解得或
故选：C.
7．D
【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种站法.
故选：D.
8．C
【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为，
由抛物线的定义可知，
且在梯形中，∴，①正确；
当直线斜率不存在时，因为直线不过定点，∴没有定值，②错误；
依题设，，由AB是直径可知，，
∴，∴，
∵
∴
，
∵，即，
即，∴，当且仅当时等号成立，③正确.
故下列结论中正确的个数为：2.
故选：C.
9．AC
【详解】对A选项，，A正确；
对B选项，左边=，B错误；
对C选项，方法一：，方法二：，C正确；
对D选项，，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
【详解】对于A，圆心到直线的距离，A正确；
对于B，过的斜率不存在的直线的方程为，
则圆心到直线的距离，此时与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离，
∴，即，
∴，即，B正确；
对于C，两圆心为，，半径为，，
两圆心距离，两个圆内含，C错误；
对于D，由切点弦方程得得，D正确；
故选：ABD.
11．ACD
【详解】，所以选项A正确；
在正方体中，平面，平面，∴，
同理，，且平面，平面，
∴平面，根据过空间一点作直线的垂面有且只有一个可知，
∴不与面重合的面不能垂直于，故选项B错误；
连接因分别为的中点，故，所以是异面直线与所成角或其补角.
∵平面，∴平面，所以，设正方体棱长为6，则，，
所以，易知，∴，所以选项C正确；
连接，则易知，在上取点，连接，使，，平面与平面重合，平面，设过且平行于平面的平面，与平面交于直线，则平行于，显然与四边形有且只有一个交点为，故D正确.
对D选项的解法二
以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为6，则，，，，
则设，，，
且，，，
面的一个法向量为，则，令，
解得面的一个法向量为，∵面，∴，
∴，∴，∵，，
∴，∴只有一组解为，
即坐标具有唯一性为，D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以，
由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为，
所以，所以.
故答案为：.
13．2或4
【详解】椭圆的半焦距，
当椭圆焦点在轴上时，，解得，
当椭圆焦点在轴上时，，解得，
所以或.
故答案为：2或4
14．
【详解】∵，∴，所以曲线C的图像是对勾函数的图像，
当x为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线，所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线，
曲线焦点所在直线与渐近线夹角为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【详解】（1），.
（2）令，得，
令，得，
.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）易知，依题知，直线的方程为.
是直角三角形，圆C是的外接圆，所以为圆C的直径，
∴圆心C为，半径为，
∴圆C的方程为.
（2）由（1）知直线l的方程为
∴圆心C到直线l的距离，
∴P到直线l距离的最大值为.
17．(1)
(2)
(3)分布列见解析，，
【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”；
则所求概率为.
（2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，
，，
由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为.
（3）依题意得X的所有取值为0，2，5
...
X分布列：
，.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：取中点O，连接，
∵，∴易知四边形为等腰梯形
∵G，O为上下两底中点，∴，∵F为正方形的边中点，
∵与相交于点O，∴平面，∴
（2）由（1）知，∵平面平面于，
∴平面，两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系
在等腰梯形中，，，如图作，易知，
∴，，，，
∴，，
∴设平面的一个法向量，
∴由有，令，则，，∴，
∴
设直线BC与平面所成角为，则.
（3）设M为，∴，
∴设平面的一个法向量，
∴由有，令，则，
∴
∵，∴设锐二面角的大小为，令
令，
因为，所以，而在内单调递减，
所以当时，取最大值，最大值为.
此时取最小值为.
19．(1)
(2)
(3)在，
【详解】（1）当OP方程为，代入得，，，
，同理当OP方程为时，，
∴的面积为：.
（2）如图：设，由三角函数的定义得，，，
∵，∴轨迹C的方程为：.
（3）设过F的动直线方程为：，代入，
整理得，.
设，，
由韦达定理有，，则.
的方程为：①；的方程为：②；
∵代入①可得：，同理由②可得：，
∴，
解得.
所以交点M在直线上.X
0
2
5
P