北京市昌平区2025－2026高三（上）期末数学考试试卷（含答案）

这是一份北京市昌平区2025－2026高三（上）期末数学考试试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了 已知集合，则集合， 已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
2026.1
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则集合（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的渐近线方程为，则m的值为（ ）
A. B. C. D. 2
6. 设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
7. 已知函数，的定义域为，若，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 直线与圆交于两点，若是的等差中项，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D. 6
9. 已知，是函数的图象上的不同两点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列满足（，2，3，）.若（），都有成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线的顶点到准线的距离为_______.
12. 已知，则_______；_______.
13. 在中，，，则_______.
14. 在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______.

15. 已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论：
①；②；③为周期函数；④为偶函数.
其中正确结论的序号是_______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数（）的最大值为2.
（1）求m的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：相邻两条对称轴之间的距离为；
条件③：的最小正周期，且.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛.决赛设置A、B两类题型，每位选手先抽取两道A类题，再抽取一道B类题.A类题答对一道得10分，B类题答对得20分.已知选手甲答对A类题的概率为，答对B类题的概率为，且各题是否答对相互独立.
（1）求甲恰好答对一道题的概率；
（2）设X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望；
（3）若选手乙答对A类题的概率为，答对B类题的概率为，设Y为乙的总得分，比较和的大小.（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
19. 已知椭圆C：（）的中心为原点O，短轴长为，A，B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，.
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）过点作直线l交椭圆C于M，N（异于A，B）两点，过点F作垂直于长轴的直线与直线BM交于点D，与直线BN交于点E.设的面积为，的面积为，求证：为定值.
20. 设函数（）.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由；
（3）若，成立，求a的取值范围.
21. 对于数列A：，，…，，若满足（，2，3，…，n），则称数列A为“数列”.定义变换T，T将“数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0，例如A：0，1，0，则：1，0，0，1，1，0，设是“数列”，令，，2，3，….
（1）若数列：1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，求数列，；
（2）若数列共有12项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（3）若：0，1，记数列中连续两项都是1的数对个数为，，2，3，….求关于k的表达式.
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 【答案】抛物线的准线方程为，所以顶点到准线的距离为2.
故答案为：2
12. 【答案】根据二项式定理，
所以，，，，
所以
综上，，
故答案为：；.
13. 【答案】因为，，所以，
可知，
，
即.
故答案为：4.
14. 【答案】对于①：因为平面平面，且交线为，过点作平面垂足为，
则在直线上，因为与平面所成角为，所以 ,
在中，，
即点到平面的距离为.
对于②：将多面体分割为四棱锥和四棱锥两部分.
对于四棱锥，因为，
所以底面为直角梯形，又,
所以，高为到平面的距离，
所以；
对于四棱锥，因为，
所以底面为梯形，
过点作垂直，垂足为，因为平面平面，平面平面，
所以平面，以为原点，分别以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，由①，
又与平面所成角均为，所以，
则，
则，令，
则点到直线的距离，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以是平面的一个法向量，
又，所以点到平面的距离为
又，
所以，
所以该多面体的体积

15. 【答案】由，令，即，得，等价于；
由为奇函数，得，
所以，即函数周期为2，所以③正确；
由和周期为2，可得，即，所以①正确；
由函数周期为2，可知，，
因为，所以，所以②错误；
由函数周期为2，可知，
由①可知，所以，所以④错误；
故答案为：①③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）
因为函数，，所以由三角函数恒等式化简得：，
，
又因为的最大值为1，所以函数的最大值为：
，
又因为函数的最大值为2，所以，得出.
（2）
选择条件①，将代入函数，则函数，
将代入可得：，即，
则，解得，导致函数不唯一，
不符合题意，所以选择该条件得0分,
选择条件②：因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，
根据周期公式，可得，所以，
当时，，
当，即时，取得最大值为1，则函数取得最大值为2，
当，即时，，则函数取得最小值为，
选择条件③：因为的最小正周期，根据周期公式，得，
将代入可得：，即，
所以或，
当时，得出，
又因为，所以，（舍去），
当时，解得，
又因为，所以，，即，
当时，，
所以当，即时，则函数取得最大值为2，
当，即时，则函数取得最小值为1.
17. 【答案】（1）
由题意可知甲答对一道A类题且答错B类题的概率为，
答错两道A类题且答对B类题的概率为，
故甲恰好答对一道题的概率为；
（2）
由题意可知X的取值为，
则，
，
，
,
,
故X的分布列为：
故；
（3）
由题意可知Y的取值为，
则，
，
，
,
,
故Y的分布列为：
故；
结合（2）可知
18. 【答案】（1）
因为平面，平面，
所以，
因为，所以两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
因为，所以，
解得，得到，，
取平面的一个法向量为，而，
因为，平面，所以平面；
（2）
由（1）可知，，
设平面的一个法向量为，
则，设，则，
所以平面的一个法向量为，而，
因为，所以，则平面；
（3）
由（1）可知，，
设平面的一个法向量为，
则，设，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值.
19. 【答案】（1）
由椭圆的短轴长为，得，
设椭圆的长轴长为，焦距为,因为，故，
即，结合，解得，
故椭圆的方程是，离心率为；
（2）
由题意可知直线l的斜率不为0，
设直线,，且,
联立,
则，即得，
且，
则直线的方程为，过作垂直于长轴的直线为,
令，得，则；
同理直线的方程为，
令，得，则；
又，，
则
，
为定值9.
20. 【答案】（1）
由题设，，则，所以切点为，
由，则，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以切线方程为，即；
（2）
由题意知的定义域为，，
令，
当时，，在单调递增，无极值点，
当时，，
时，，在单调递增，无极值点；
时，，设方程的两根为，
所以，此时，
，
，
，
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
函数有两个极值点；
当时，，设方程的两根为，
所以，此时，而，
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
函数有一个极值点；
综上：
当时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点.
（3）
由成立等价于在上恒成立.
令且，则，
令且，则，
所以在上单调递增，则，故，
所以在上单调递增，时，时，
所以，则.
21. 【答案】（1）
解：由数列，
由变换的定义，可得，.
（2）
解：数列中连续两项相等的数对至少有12对.
证明：对于任意一个“数列”，则中每一个1在中对应连续四项，
在中每一个在中对应的连续四项，
因为共有12项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
所以数列中连续两项相等的数对至少有12对.
（3）
解：设中有个数对，中的数对只能有中的数对得到，所以，
所以中的数对有两个产生途径，①由中的得到；②由中得到，
由变换的定义及，可得中和的个数总相等，且共有个，
所以，且，所以，
由，可得，，所以，
当时，
若为偶数，，
各式相加，可得，
经检验，当时，也满足 ，
若为奇数，，
各式相加，可得，
经检验，当时，也满足 ，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
D
B
B
A
D
A
C
X
0
10
20
30
40
P
Y
0
10
20
30
40
P