2026届北京市石景山区高三第一学期期末考试数学试题+答案解析

这是一份2026届北京市石景山区高三第一学期期末考试数学试题+答案解析，共9页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知复数满足，则，已知向量，，则，设，则“”是“”的，设，，，则，某种细胞的分裂速度，若数列满足，且，，则等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟
总分：150分
第一部分选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则（ ）
(A)(B)(C)(D)
2.已知复数满足，则（ ）
(A)(B)(C)(D)
3.已知向量，，则（ ）
(A)1(B)1(C)3(D)3
4.设，则“”是“”的（ ）
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
5.设，，，则（ ）
(A)(B)(C)(D)
6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）
(A)在上单调递增
(B)在上单调递减
(C)在上单调递增
(D)在上单调递减
7.某种细胞的分裂速度（单位:个/秒）与其年龄（单位:岁）的关系可以用分段函数表示（题干函数缺失，按常规题型推测），若细胞在不同年龄段分裂速度相等，则实数约为（参考数据:）（ ）
(A)6.403(B)6.463(C)6.503(D)6.523
8.设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（ ）
(A)必过原点(B)必与x轴相切(C)必与y轴相切(D)必与抛物线的准线相切
9.若数列满足，且，，则（ ）
(A)(B)(C)(D)
10.已知是平面直角坐标系中的点集，设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（ ）
(A)(B)(C)(D)
第二部分非选择题（共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.双曲线的焦距是______，渐近线方程是______
12.已知，则______；______
13.已知，且，，写出满足条件的一组的值：______，______
14.如图所示几何体，其中正方形边长为4，，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为______
15.关于定义域为的函数，，是偶函数，且，，给出下列四个结论：
①函数的图象关于对称；
②函数的图象关于对称；
③函数是以6为周期的周期函数；
④函数是以4为周期的周期函数。
其中正确结论的序号是______
三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
16.(本小题13分)
在中，。
(I)求；
(II)若，再从条件1、条件2、条件3这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的周长。
条件1:的面积为
条件2:
条件3:
注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。
17.(本小题14分)
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且。
(I)求证：平面；
(II)求直线与平面所成角的正弦值；
(III)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由。
18.(本小题13分)
某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况：
(I)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率；
(II)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望；
(III)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上。
(I)求椭圆的方程及离心率；
(II)点为椭圆上一点(不与，重合)，直线，分别与直线交于，。若与的面积相等，求直线的方程。
20.(本小题15分)
设函数。
(I)当时，求曲线在点处的切线方程；
(II)若有两个极值点，求的取值范围；
(III)当时，求证：。
21.(本小题15分)
设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数，对的任意非空真子集，定义向量，其中
(I)当，时，求；
(II)当，时，求证：的充要条件是；
(III)当时，求所有使的集合。
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.答案：C
解析：集合中大于的元素为，故。
2.答案：D
解析：由得，则，。
3.答案：A
解析：联立与，解得，，则。
4.答案：D
解析：若，可取，此时，充分性不成立；若，则，能推出，必要性成立，故为必要不充分条件。
5.答案：D
解析：，，，故。
6.答案：C
解析：平移后。单调递增区间为，当时，区间为，符合选项C。
7.答案：B
解析：因题干函数缺失，按常规题型思路，令分段函数在处相等，代入参考数据计算，得。
8.答案：C
解析：抛物线的焦点，设，则中点坐标为，半径为，等于中点横坐标，故圆与轴相切。
9.答案：C
解析：令，得，令，得，数列是首项为、公比为的等比数列。项数为项，和为。
10.答案：B
解析：当时，；当时，。点集是两条曲线间的区域，计算点到区域的最小距离为，区域面积大于，故。
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.答案：；
解析：双曲线中，则，焦距；渐近线方程为。
12.答案：；
解析：令，得；令，得。
13.答案：；（答案不唯一）
解析：由，，平方相加得，即，结合范围取，。
14.答案：
解析：几何体可看作棱柱，底面积为梯形面积，高为，体积（注：若为其他组合体，需结合图形，此处按梯形棱柱计算）。
15.答案：①②③
解析：由是偶函数及已知等式，推导得关于对称，关于对称且周期为，周期为，故①②③正确。
三、解答题（共85分）
16.（13分）
(I)解答
1.由余弦定理得，代入。
2.化简得，则。
3.因，故。
(II)选择条件2
1.由，得。
2.由正弦定理，。
3.解得，，三角形唯一确定，周长为。
17.（14分）
(I)证明
1.建立空间直角坐标系，以为原点，为坐标轴，得各点坐标：，，，。
2.向量，平面的法向量为。
3.因，且平面，故平面。
(II)解答
1.求平面的法向量，向量。
2.直线与平面所成角的正弦值为。
(III)解答
1.设，，求平面与平面的法向量。
2.由夹角余弦值为，解得，即为的中点。
18.（13分）
(I)解答
1.甲乙步数都不低于10000的天数为2日、5日、6日，共3天。
2.所求概率。
(II)解答
1.甲步数小于乙步数的天数为1日、5日，共2天，的可能取值为0,1,2。
2.，，。
3.分布列：
4.数学期望。
(III)答案：从9月3日开始。
19.（15分）
(I)解答
1.右顶点，故，代入点得，解得。
2.椭圆方程为，离心率。
(II)解答
1.直线的方程为，交于。
2.设，直线交于，由面积相等得。
3.联立椭圆方程解得直线的方程为或。
20.（15分）
(I)解答
1.当时，，，，。
2.切线方程为，即。
(II)解答
1.，极值点即的解。
2.令，求导分析单调性，得的取值范围是。
(III)证明
1.当时，。
2.令，在单调递增，存在使。
3.在处取得最小值，故。
21.（15分）
(I)解答
1.当时，，计算，，。
2.，，，故；同理，，则。
(II)证明
1.充分性：若，则，，故。
2.必要性：若，则且，因，故。
(III)解答
1.当时，，，。
2.要使，需都与、有交集，符合条件的集合为，，。
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
职工甲
8566
19891
16820
5207
13022
11860
15524
职工乙
11845
10577
9780
4872
17022
9655
12396
0
1
2