甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（命题人：张宏涛 2024年11月）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的纵截距为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据截距式方程判断即可.
【详解】直线即，所以纵截距为-2.
故选：A.
2. 已知数列满足，若，则（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，逐项计算确定周期，再求出.
【详解】数列中，，，则，
因此数列是周期数列，其周期为3，
所以.
故选：B
3. 已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 或1D. 或1
【答案】D
【解析】
【分析】利用两条直线平行的条件列式求解.
【详解】由直线与直线平行，得，解得或，
所以实数a的值为或1.
故选：D
4. 在等差数列中，若，，则（ ）
A. 10B. 20C. 25D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而由等差数列通项公式求得.
【详解】在等差数列中，，，
根据等差数列通项公式，设公差为，
可知，解得，
故
，
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
5. 已知数列满足，，则值为（ ）
A. 22B. 42C. 79D. 149
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得.
【详解】数列中，，，
.
故选：C
6. 设为直线上的动点，，为圆的两条切线，为切点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先把面积表示出来，判断出最小时，四边形的面积最小，从而求出当PC⊥直线时，求出，即可求得.
【详解】解：如图，
，
要使四边形的面积最小， 只需最小，
当PC垂直直线时，
取最小值为，
四边形的面积最小值为，
即四边形的面积的最小值为1．
故选：D．
【点睛】方法点睛：
最值的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：建立函数表达式，利用函数求最值.
7. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】
变换得到S8-S4=S4+5，根据等比数列性质知S4(S12-S8)=(S8-S4)2，，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列求和，等比数列性质，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8. 曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可.
【详解】曲线可整理为，，
所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下：
直线表示过点的直线，
如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点，
与半圆相切，则，解得，
经过点，则，解得，
所以.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. （多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可.
【详解】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；
对于B显然正确；
对于C，当时，，显然不符合；
对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.
故选：ABD．
10. 设是公差为d的等差数列，为其前n项和．能说明“若，则数列为递增数列”是假命题的一组和d的值可以为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】举例说明判断AC；求出数列的通项公式，再数列单调性定义判断BD.
【详解】对于A，，，数列不递增，A符合；
对于B，数列的通项公式为，，，
则数列为递增数列，B不符合；
对于C，，，数列不递增，C符合；
对于D，数列的通项公式为，，，
则数列为递增数列，D不符合.
故选：AC
11. 已知数列对，满足，设为数列的前n项之积，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
分析】根据给定条件，结合对数换底公式求出，再结合对数函数性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
12. 直线的一个方向向量为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知直线:,方向向量为或即可求解。
【详解】因为直线:,方向向量为或
所以的，即一个方向向量，
故答案为：
【点睛】本题考查直线的方向向量，需掌握方向向量的求法：在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量。
13. 已知圆的方程为，过点的该圆的三条弦的长构成等差数列，则数列的公差的最大值是_________．
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：，数列的公差的取最大值时，为最短弦，为最大弦（直径），，因此公差的最大值是
考点：直线与圆位置关系
14. 下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，设这个数列为，则________，数列的通项公式为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据图象的规律，得到数列前后两项的递推关系，再利用构造法求出通项.
【详解】由图知，；
，由此得，
则，而，因此数列是以为首项，8为公比的等比数列，
则，所以数列的通项公式为.
故答案为：；
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列的前n项和为．且满足．
（1）求，值；
（2）证明数列为等比数列并求其通项公式．
【答案】（1），；
（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，取求解.
（2）利用，结合等比数列定义推理并求出通项.
【小问1详解】
数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，
所以，.
【小问2详解】
当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，而，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式.
16. （1）已知圆和．求证：圆和圆相交；
（2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系.
（2）设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，即，
所以圆和圆相交.
（2）由，解得，即点，
设直线上任意一点，则点关于点对称的点为，
依题意，点在直线上，得，
化简得：，所以直线的方程为.
17. 设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（）（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据等差中项判别法判断出数列是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差,即可得到数列的通项公式;
(2)由(1)求出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前项和.
【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,
因为,所以,解得,
所以的通项公式为:();
(2)由(1)知,
所以数列的前项和:
.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前项和,难度不大.
18. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式.
（2）由（1）求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论.
【小问1详解】
依题意，设等差数列公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
由（1）得，
则，
因此，
两式相减得，
则，
所以的前n项和.
19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）若，求切线所在直线方程；
（2）求的最小值；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．
【答案】（1），；（2）（3）
【解析】
【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；
（2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值；
（3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值．
【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，
则圆心到切线距离，解得或，
故所求切线方程为，；
（2）连接交于点，
设，则，
在中， ，
∵，∴，∴，∴；
（3）设切线方程为，即，的斜率为，
故圆心到切线的距离，得，
∴， ，
在切线方程中令可得，
故，
∴，此时，故最小值为．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．