上海市2025-2026学年上学期期末八年级数学模拟练习卷（含答案）

这是一份上海市2025-2026学年上学期期末八年级数学模拟练习卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分：必做题
一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1. 下列说法中，正确的是 （ ）
（A） 任何实数都有倒数； （B）任何实数不是有理数就是无理数；
（C） 任何实数都有平方根； （D）任何实数不是正实数就是负实数．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
（A）a3； （B）21a； （C）12a3； （D）a2+2a+1．
3. 下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）
（A）x2=3x； （B）xy=1； （C）x+1x=1； （D）x2+12x2=0．
4. 如果x1和x2是一元二次方程2x2−8x−15=0的两个实数根，那么以下结论正确的是 （ ）
（A）x1+x2=8； （B）x1+x2=−4；（C）x1·x2=−152；（D）x1·x2=152．
5. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是 （ ）
（A）x2−3x−2=0； （B）x2−3x−2=0；
（C）x2−3x+2=0； （D）x2+3x+2=0．
6. 如图，在Rt∆ABC和Rt∆DEF中，已知∠ACB=∠DFE=90°，且AC=DF．如果只能运用 “直角三角形全等的判定定理” 判定Rt∆ABC≅Rt∆DEF，那么需要补充的条件是（ ）
（A）∠A=∠D； （B）AB=DE； （C）∠B=∠E； （D）BC=EF．
7. 以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是 （ ）
（A）1.703×10−2；（B）9.0007×102；（C）−5.0003×10−3；（D）−6.2181×10−4．
8. 在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，13对应的点为C，那么以下表述正确的是 （ ）
（A）点C位于点B的右侧；
（B）点C位于点A的左侧；
（C）点C位于A、B两点之间且更靠近点A；
（D）点C位于A、B两点之间且更靠近点
B．
9. 某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是 （ ）
（A）12x(x−1)=156； （B）x(x−1)=156；
（C）2x(x−1)=156； （D）12x(x+1)=156．
10. 学习《理财小课堂》后，请从收益率的角度分析以下两个项目，哪个更值得投资．以下观点中，你最认同的是 （ ）
（A）因为甲、乙两个项目的收益都是10%，所以投资这两个项目是一样的；
（B）因为甲项目的总收益为10万元，高于乙项目的总收益8万元，所以投资甲项目更优；
（C）虽然甲、乙两个项目的收益都是10%，但因为一年后甲项目先返回60%，乙项目先返回62.5%，乙先返回的更多，所以投资乙项目更优；
（D）虽然甲、乙两个项目的收益都是10%，但因为甲、乙两个项目的初始投入不一样，所以无法判断投资哪个项目更优．
二、填空题（本大题共10题，每题2分，满分20分）
11.64的立方根是 ________．
12. 计算：32−32= ________．
13. 如果代数式m−1m+2在实数范围内有意义，那么m的取值范围是 ________．
14. 化简：(π−4)2= ________．
15. 用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为(x+a)2=b的形式．现如果用配方法解一元二次方程x2−4x−2025=0，那么此时a+b的值是 ________．
16. 在实数范围内因式分解：2x2+2x−3= ________．
17. 已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程x2−x−12=0的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ________．
18. 不等式−3x≥3(3+x)的解集是 ________．
19. 如图，在∆ABC中，已知点D在边BC上，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，且BD=CF，BE=CD．如果∠AFD=140°，那么∠EDF= ____°．
20. 如图，在Rt∆ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．分别以点C、D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如果BD=3，那么DF= ________．
三、解答题（本大题共6题，满分50分）
21. （本题满分5分）
计算：23×22−3+22÷13．
22.（本题满分7分，其中第1题1分，第2题3分，第3题3分）
某同学在解方程x2−5x=6时，给出了以下解答过程：
（1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3））
23.（本题满分10分，其中第1题4分，第2题6分）
已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2+2=0。
（1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求m的值。
24.（本题满分6分，其中第1题4分，第2题2分）
如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点。现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等。
（1）小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在∆ABC的内部。请用尺规作出在∆ABC外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为P1、P2和P3）；
（2）猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形P1P2P3____________________________。
25.（本题满分10分，其中第1题4分，第2题6分）
我们知道，如果正整数a、b、c满足a2+b2=c2，那么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为{a,b,c}（c>a，c>b）. 以勾股数组中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形.
（1）对于勾股数组{a,b,c}，求证：b+ca=ac−b；
（2）已知一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a、b、c均为正整数，如果正有理数p满足：12p−1p为该方程的两根之和，12p+1p为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数.
26.（本题满分12分）
在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）.
活动1
刘徽（约225—约295）的证明
交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置.根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线ED和FD.
现给定两个边长分别为a和b的正方形ABCD和DEFG（a>b），其中正方形的边AD和DE共线（如图3）.根据刘徽的方法，请用尺规在线段AE上作出点P的位置（用于确定裁切线BP和FP），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为a2+b2的大正方形）.
第二部分：选做题
说明：解决本组问题时，建议使用计算器作为辅助工具.
27. 选择题（本题满分4分）
如图，某公园有一块形状为直角三角形的草坪∆ABC，其中∠ACB=90°. 现要安装一个自动喷淋装置，设为点P，该装置的位置需满足：① 点P到AC、BC的距离都相等；② 点P到顶点A、B的距离都相等. 对于点P的位置的确定，以下判断正确的是 （ ）
（A） 对于任意给定的Rt∆ABC，满足条件的点P的位置一定是唯一的；
（B） 对于任意给定的Rt∆ABC，满足条件的点P的位置一定位于三角形的内部或三条边上；
（C） 连接点B与边AC的中点D，线段BD的中点不可能是满足条件的点P的位置；
（D）点P的位置只有当给定的Rt∆ABC的内心与外心重合时才能被确定.
28. （本题满分16分，其中第1题5分，第2题5分，第3题6分）
在本卷第25题的基础上，我们继续探究与勾股数组有关的问题.
考古研究表明，很多古文明对勾股数组都有过深入的研究. 其中，古巴比伦人被认为大约早在公元前1800年左右就留下过研究成果，证据就是现收藏于美国一所大学图书馆（博物馆）的编号为“Plimptn322”的一块古巴比伦泥板（如图）上留下的数字.
由于该泥板的部分已经断裂缺失，只剩下了两列数表（表1），为此有些人质疑：能否只凭这些数字就判断古巴比伦人已认识到了直角三角形三边关系这一人类数学史上极为重要的结论呢？请同学们对此展开探究.
表1
（1）甲同学首先提出了研究思路：由于勾股数组{a,b,c}必须都是正整数，所以我们可以根据勾股定理计算出缺失的一列数字. 如果它们都是正整数，那么我们就更有理由推断 “古巴比伦人对直角三角形三边关系已有深入的认识”.
请根据甲同学的思路，将计算结果填入数表中的某一列空格，并在表格的第一行里相应填入表示直角边的a、b和表示斜边的c（分别填入a、b或c即可）；
(2)乙同学虽然同意甲同学的研究思路，但他认为即使计算得到的都是正整数，这三列数字也可能只是古巴比伦人在开展平方和运算时留下的痕迹，并提出了两点质疑：“一是列表中连最基本的勾股数组{3，4，5}都没有出现过；二是从这些数字的大小和前后顺序中看不出有什么规律。”
为了尝试回应乙同学提出的质疑，请探索表中数字可能隐藏的规律（可包含之前填入的一列数）。如能发现规律，请尝试用数学语言表述；如未能发现规律，请至少写出一个你尝试发现规律的探究方案。
（3）很多古代数学家研究过勾股数组的构造方法，例如古希腊数学家毕达哥拉斯设计的构造方法：“任取正整数m>n，令a=m2−n2，b=2mn，c=m2+n2，此时的正整数a、b、c即为一组勾股数。”就是我们曾在课本中学到过的。
科学家通过对这块泥板的深入研究后发现，古巴比伦人有不同的构造方法：他们会取一个大于1的正有理数p，分别计算出12p−1p和12p+1p，由这两个分数的分母和分子形成的三个数就是一组勾股数。
请证明古巴比伦人构造勾股数组的方法是科学的，并验证该方法与毕达哥拉斯的构造方法有着“异曲同工”的关联。
解答参考
（测试时间100分钟，必做题：满分100分；选做题：满分20分）
第一部分：必做题
一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1.B； 2.B； 3.A； 4.C； 5.C；
6.B； 7.D； 8.D； 9.B； 10.C.
二、填空题（本大题共10题，每题2分，满分20分）
11.4； 12. 2； 13. m≥1； 14. 4−π； 15.2027；
16. 2x−−1+72x−−1−72 17.8； 18. x≤3−332 19.50； 20.6.
三、解答题（本大题共6题，满分50分）
21. （本题满分5分）
解：23×22−3+22+13
=23×522−3×3
=6×522−3
=152−18
22. （本题满分7分，其中第1题1分，第2题3分，第3题3分）
解：（1）勾选 “A”；
（2A）选①；理由写：用因式分解法求解一元二次方程时，等号右边应该为 “0”；
(2A)可选④；理由写：解法不严谨，未强调x(x−5)中的x和x−5为何不能等于2和3，−2和−3，1和6等；理由也可以写：未强调一元二次方程有且只有两个解.
（由于该解法本质是恰好找到了两个正确解，所以需强调一元二次方程最多只有两个解，所以才能在找到两个正确解的前提下能说明这两个解就是方程的所有解）.
说明：以上两类选择的错误步骤和理由能匹配的，均以步骤选择得1分，理由写对得2分进行评分.
（3A）解：x2−5x−6=0
(x−6)·(x+1)=0 ……1
x=6或x=−1
∴原方程的解为x1=6，x2=−1. ……3
说明：题（1）若勾选 “B”，在（2B）举例的解法中能说明要在找到两个正确解的基础上，说明一元二次方程最多只能有两个解，那（1）小题也可给1分；且（3B）的其他正确解法也相应给分. 不论选 “A” 或 “B”，（3A）和（3B）均建议独立评分.
23. （本题满分10分，其中第1题4分，第2题6分）
解：（1）x2−(2m+1)x+m2+2=0
Δ=(2m+1)2−4(m2+2)=4m−7 ……1
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即4m−7>0 ……3
∴m>74.
所以当m>74时，原方程有两个不相等的实数根. ……4
（2）设原方程的两个实数根分别是x1，x2
由韦达定理得：x1+x2=2m+1，x1·x2=m2+2 ……6
由题意得：x12+x22=13
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
∴(2m+1)2−2(m2+2)=13，解得：m1=−4，m2=2.
∵原方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即 m≥74.
综上可得，m=2． ⋯⋯10
24. （本题满分6分，其中第1题4分，第2题2分）
解：（1）图略，每作出一个位置正确的点P，可得1分；作图痕迹能体现作法的正确性，总体可得1分． ⋯⋯4
（2）（该三角形）是锐角三角形（答案不唯一） ⋯⋯6
25. （本题满分10分，其中第1题4分，第2题6分）
证明：（1）∵a2+b2=c2，∴a2=c2−b2=(c+b)(c−b)， ⋯⋯2
∵a、b、c为正整数，且c>b，
∴b+ca=ac−b ⋯⋯4
（2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
由题意可知x1+x2=−ba=12p−1p①x1⋅x2=ca=12p+1p②， ⋯⋯6
将②−①可得：ca2−−ba2=12p+1p2−12p−1p2=1， ⋯⋯8
∴c2−b2a2=1，即a2+b2=c2，
∴此时的系数a、b、c一定是一组勾股数． ⋯⋯10
26. （本题满分12分）
作法1：在线段AE上截取AP=DE． ……3
连接BP、FP，延长DC至点H，使CH=AP，
连接BH、FH．
证明：∵AE=a+b，AP=b，∴EP=AB=a． ……5
又∵∠A=∠E=90°，AP=EF=b，∴∆APB≅∆EFP（S.A.S）
∴BP=FP，∠ABP=∠EPF，
∵∠APB+∠EPF+∠BPF=180°，∠APB+∠ABP=90°
∴∠BPF=90°．
同理可证∆APB≅∆CHB≅∆GFH（S.A.S）
∠PBH=∠BHF=90°，
∴四边形BPFH为正方形． ……8
∵S∆ABP=S∆EPF=S∆GHF=S∆CBH
∴SBPFH=SABCD+SDEFG=a2+b2 ……11
∴BP=a2+b2 ……12
作法2：以点B为圆心，CE的长为半径作弧，交AE于点P，连接BP．
可证AP=b，……（后续证法及评分可参考方法1）
作法3：连接BF，作BF的中垂线，交AE于点P，连接BP、FP．
可证AP=b，……（后续证法及评分可参考方法1）
第二部分：选做题
27. （本题满分4分） C
28. （本题满分16分）
75=(215)2+(15)2，
由此猜测：a=m2−n2，b=2mn，c=m2+n2，
∴a2+b2=c2，即{a,b,c}是勾股数组.
说明：发现此类“规律”的，最多可得3分（因为勾股数组本就有此规律，缺乏对直角三角形形状特征的联系）.
（3）设p=mn，其中m，n均为正整数且m>n，
12p−1p=12mn−nm=12·m2−n2mn=m2−n22mn ……12
12p+1p=12mn+nm=12·m2+n2mn=m2+n22mn ……14
因此，这两个分数的分母和分子形成的三个数，分别为m2+n2，m2−n2，2mn，
符合(m2−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2勾股数的形式.
因此，古巴比伦人构造勾股数的方法本质上与毕达哥拉斯的构造方法一致. ……16项目
投入（万元）
一年后返回（万元）
二年后返回（万元）
甲
100
60
50
乙
80
50
38
解答过程
步骤序号
解：将方程的左边因式分解，得x(x−5)=6，
…①
当x=6且x−5=1时满足以上等式，可得x=6；
…②
当x=−1且x−5=−6时满足以上等式，可得x=−1。
…③
综上，原方程的解为x1=6，x2=−1。
…④
□ A. 该解答过程不正确
□ B. 该解答过程正确
（2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错的，请说明其错误的原因；
（3A） 对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程.
（2B）如果你认为该解答正确，那么请再例举一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性；
（3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程.
119
169
3367
4825
4601
6649
12709
18541
65
97
319
481
2291
3541
799
1249
481
769
4961
8161
45
75
1679
2929
161
289
1771
3229
56
106
（1）利用计算器可得（见下表）：
……5
（2）解：
lebrder="1"> b a c 120 119 169 3456 3367 4825 4800 4601 6649 13500 12709 18541 72 65 97 360 319 481 2700 2291 3541 960 799 1249 600 481 769 6480 4961 8161 60 45 75 2400 1679 2929 240 161 289 2700 1771 3229 90 56 106
发现1：表格中ac的值从大到小排列；或者bc的值从小到大排列；或者ab的值从大到小排列.
发现2：补全的一列数都只含有素因数2、3、5等(或者写出绝大部分能被10整除)；(说明：因古巴比伦人是60进制计数而致).
说明：根据对表中数据的分析，得到以上发现的(发现1只需得到任一结论即可)，均得5分.
发现3，如：
∵a2+b2=c2，即{a，b，c}是勾股数组.
且有ka2+kb2=kc2(k≠0)，
∴{45，60，75} ⇒ {3，4，5}. 因此，数组中其实已含有基本的勾股数组 (3，4，5).
说明：虽未找到规律，但能得出“发现3”的结论，最多可得4分.
其他规律，如：
∵120=2×12×5，119=122−52，169=122+52；
72=2×9×4，65=92−42，97=92+42；
60=2×215×15，45=(215)2−(15)2.