安徽省六安市2025_2026学年高三数学上学期第三次月考试题含解析

这是一份安徽省六安市2025_2026学年高三数学上学期第三次月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，再根据复数的除法得到即可．
【详解】由，则，
，，
所以的虚部为．
故选：A．
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
【详解】由可得：，
由可得：，
则，
故选：C
3. 已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由题设，在方向上的投影向量为；
故选：D
4. 在中，设，若点满足，点为中点，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算求解.
【详解】根据题意，
.

故选：B
5. 在中，角的对边分别为．若，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理直接求解.
【详解】根据余弦定理，
，
所以.
故选：B
6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（ ）
A. 1B. C. 或D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，根据可求出的取值范围，根据在上只有一个极大值点，可得出关于的不等式，从而可得出正整数的值.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
得到函数的图象，则，
当时，，
因为在上只有一个极大值点，则，解得，
因为，故正整数的值为1或.
故选：D.
7. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得.
【详解】设，则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
由题意，，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以的最大值为.
故选：B
8. 在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得，然后由三角函数和差化积公式可得，
然后可得，然后结合三角形正弦定理和面积公式可得答案.
【详解】的内角，，满足，
，
，
，
，
化为，
．
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得：，
由可得：，
则，即，则
由，及正弦定理得，
即，
面积满足，
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 在中，．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 的面积为3D. 的外接圆半径为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量线性运算来判断A，利用余弦定理来求解并判断B和C，利用直角三角形来求外接圆半径可判断D.
【详解】由，所以，故A错误；
由，
因为，所以为锐角，
则由，
结合余弦定理可得：，
，故B正确；
由余弦定理得：，则，
所以三角形面积为，故C错误；
根据直角的外接圆半径为，故D正确；
故选：BD.
10. 设为复数，则下列结论一定正确的有（ ）
A. B.
C. 若均为纯虚数，则为实数D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】设复数，可得，结合复数的运算法则，逐项计算，即可求解.
【详解】设复数，可得，
对于A，取，则，，故A错误；
对于B，，
，则，故B正确；
对于C，由均为纯虚数，得，，
则是实数，故C正确；
对于D，由
，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数有且只有三个零点，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题设等价于和有且只有三个交点，再利用中心对称性并结合题意判断A；利用单调性与周期性结合反证法判断B；易得和相切时才满足题意，结合图象即可判断C，利用导数的几何意义得到，进而求出判断D即可.
【详解】对于A，由，
若有且只有三个零点，
则有且只有三个解，
即和有且只有三个交点，
而，则是的零点，即是两个函数的一个交点
由正弦函数性质得是的一个对称中心，
由一次函数性质得是的一个对称中心，
则两个函数的交点关于中心对称，得到，故A正确，
对于B，若，则，
可得，
而，则单调递增，且，
可得，
而是和的交点横坐标，
得到，，
即，发生矛盾，故B错误；
对于CD，由图可知，当和相切时才满足题意，
则，故C正确，
由，则，
因为，所以，且，
消去a得，
则，
又，则，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得.
【详解】设，则，
由，可得，解得，
则，所以.
故答案为：.
13. 求值：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系，辅助角公式，二倍角公式以及诱导公式计算.
【详解】
.
故答案为：.
14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形边长的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故.
【详解】因为，，，所以，
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，所以
（其中），
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且是边长为4的正三角形．

（1）求ω与a的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式、辅助角公式，可得，根据正三角形边长及周期公式，可得的值，求得正三角形的高，可得a值.
（2）由题意，可得，根据的范围，可得，代入所求，结合两角差的正弦公式，化简计算，即可得答案.
【小问1详解】
由已知得，
，，
由图象可知，正三角形的高即为函数的最大值a，
解得.
【小问2详解】
由（1）知，即，
，，
，
.
16. 设函数．
（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点的横坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，对任意的，恒成立，即得，求出函数在上的最小值，即得实数a的取值范围；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，可得出，令，利用导数分析该函数的单调性，结合解方程，求出即可．
【小问1详解】
因为函数在区间上是减函数，
则对任意的，恒成立，
故对任意的恒成立，
令，其中，
因为函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，
所以，，
故实数的取值范围是．
【小问2详解】
设切点坐标为，
，则切线斜率为，
所以，函数在处的切线方程为，
将原点坐标代入切线方程并化简得，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，且，
由，可得，
因此，切点的横坐标为．
17. 已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期及值域．
（2）设函数．
①求图象的对称中心；
②当时，函数的图象与直线有两个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期，值域为
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最小正周期求法可求得周期，利用正弦函数性质求解值域即可.
（2）①根据对称关系可求得，采用五点作图对应法可构造方程求得对称中心；
②将问题转化为与恰有两个交点的问题，结合正弦型函数图象可求得结果即可.
【小问1详解】
，
，
，
的最小正周期，值域为．
【小问2详解】
因为，
所以与的图象关于直线对称，
；
①令，解得，此时，
图象的对称中心为；
②当时，，
则当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减；
而，，，
可得在的大致图象，如下图所示，

而有两个零点等价于与有两个交点，
由上图可知.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，．
（1）若，，求向量夹角的余弦值；
（2）若向量共线．
①求证：角为直角；
②求的取值范围．
【答案】（1）
（2）① 证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求解；
（2）①首先根据向量共线得出，再利用二倍角公式，弦化切即可证明；②由正弦定理边化角得到，然后令，把问题转化二次函数值域问题即可求解.
【小问1详解】
若，，则，，
则，所以向量夹角的余弦值为 .
【小问2详解】
①若向量共线，则，即，
可得，则，
因为，则，可知，，
可得，即，可得，
又，则，可得，则．
②由①可知：
，．
令，因为，则，，
可得，且，
则，
令，在区间内单调递增，且，，
可得，即的取值范围为．
19. 已知函数，为函数的导函数．
（1）令，若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）令，若在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
（3）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为有解，再分离参数转化为最值问题求解；
（2）由求解得单调增区间，求解得单调减区间；
（3）由单调性结合零点存性定理判断求解.
【小问1详解】
，由已知，在上有解，
则只需，，
当时，最小值为，所以；．
【小问2详解】
由题意知，
求导得，
当时，，，
当，则， 解得，即时，，
当，则，解得，即时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；．
【小问3详解】
，则，
①当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．所以在区间上恒成立，即在区间上无零点．
②当时，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，即．
（ⅰ）时，，在区间上单调递增，
即在区间上恒成立，所以在区间上无零点．
（ⅱ）当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，即当时，取得最小值，因为，所以．因为，所以当时，，此时，在区间上恒成立，在区间上无零点．
当时，，故存，使得．