河南省周口市重点中学2025-2026学年高二上学期1月测评数学试卷含解析（word版）

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1. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 A1,2,3 与点 B1,−2,3 关于
A. x 轴对称 B. y 轴对称
C. Oxy 平面对称 D. Oxz 平面对称
2. 点 Ax1,y1 与点 Bx2,y2 是直线 l:x−2y+2=0 上的两个不同的点,则 y1−y2x1−x2=
A. 12 B. −12 C. 1 D. -1
3. 已知数列 an 满足 a1=12,an+1=1+1an ,则 a2a3a4a5=
A. 9 B. 11 C. 18 D. 29
4. 若椭圆焦点在 x 轴上,长轴长是焦距的 3 倍,且经过点 6,0 ,则椭圆的标准方程为
A. x236+y24=1 B. y236+x24=1 C. x236+y232=1 D. x26+y24=1
5. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,A2,2 ，点 P 是抛物线 C 上一点，当 PA+PF 取最小值时,点 P 到直线 3x−4y−5=0 的距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 25
6. 已知 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和,若 Sn+1=4an−1 ,则 an=
A. 2n−1 B. 2n C. 3n−1 D. 3×83n−1
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在双曲线 C 的右支上,且 A1A2,PF2,F1F2,PF1 成等差数列,则双曲线 C 的离心率为
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
8. 如图，在三棱锥 A−BCD 中， AB,AC,AD 两两垂直， AB=3,E ， M 在棱 AB 上， N ， F 在棱 AC 上， P ， G 在棱 AD 上，且 AE= EM=MB,AN=NF=FC,AP=PG=GD ,平面 EFG∩ 平面 MNP=O1O2 ，点 O 为线段 O1O2 上的一个动点 (不包括端点). 则 AO⋅AB=
A. 4 B. 2 C. 3 D. 不确定
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 l:x−3y+3=0 和圆 C:x−12+y2=r2r>0 ,则
A. 若直线 l 和圆 C 相切,则 r=2
B. 若直线 l 被圆 C 所截得弦长为 2,则 r=5
C. 若圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 1,则 r=1
D. 若 r=4 ,圆 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 1
10. 在空间直角坐标系中,已知 O0,0,0,OA=0,−1,1,OB=3,0,0,OC=(0,2 , 1), 则
A. AC⊥AB
B. 与 OA 平行且模为 32 的向量的坐标为 0,−3,3 或 0,3,−3
C. AC 与 CB 夹角的余弦值为 147
D. OA 在 OC 上投影向量的坐标为 0,−25,−15
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x23+y22=1 的右焦点为 F ,过 F 且倾斜角为 π6 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴下方,直线 AO 交椭圆 C 于另一点 D ,连接 BD,DF ,则
A. DF+AF=23 B. DF⊥OF
C. AF=2BF D. 点 F 到直线 AD 与 BD 的距离相等
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 a−3x+ay+4=0 与直线 2x−4y−5=0 平行,则 a= _____.
13. 已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1−2,0,F22,0 ,若点 F1 关于其中一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 C 的标准方程为_____.
14. 已知各项均为正数的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a9−3a1+1+a10−3a2+1+a11−3a3+1+ a12−3a4+1=4 ,数列 Sn 是等差数列,则 an= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 an 满足 a1=2,an+1=3an−2n+1 .
(1)求证:数列 an−n 为等比数列；
(2)求数列 an 的前 n 项和 Sn .
16. (本小题满分 15 分)
已知圆 N 经过点 A6,−3,B3,6,C0,5 .
(1)求圆 N 的标准方程；
(2)过点 P−2,8 作圆 N 的切线，求该切线方程.
17. (本小题满分 15 分)
如图，是正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 被平面 EFGH 所截得的几何体， AB=2,BF= DH=3,CG=4 .

(1)证明:四边形 EFGH 是菱形；
(2)求平面 EFGH 和平面 ABCD 的夹角的余弦值；
(3)求点 E 到平面 DBG 的距离.
18. (本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:x2=2py00 的焦点 F0,p2 , 1 分
因为直线 l:y=kx−1+2 过定点 P1,2 ,设点 F 到直线 l 的距离为 d ,所以 d≤PF ,当且仅当 PF⊥l 时等号成立, 即点 F 到直线 l 的距离的最大值为 PF , 2 分
又因为点 F 到直线 l 的距离的最大值为 2 ,即 PF=2 ,
所以 12+p2−22=2 ,解得 p=6 或 p=2 ,又因为 0dn , 15 分
所以数列 dn 从第 2 项起是单调递增数列,所以当 n≥2 时, dn≥d2=43>1 ,
又因为 d1=2 ,所以 dn>1 ,即 2n2n−1>1 ,所以 2n>2n−1 , 16 分
Tn=1−12n+12n>1−12n+12n−1=1−1212n−1−12n+1=1−14n−2+14n+2 ,
综上, 1−14n−2+14n+2