2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）方程（x﹣2）2＝9的解是（ ）
A．x1＝5，x2＝﹣1B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝﹣7D．x1＝﹣11，x2＝7
2．（3分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2
4．（3分）平面内，⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
5．（3分）下列事件中，随机事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c
C．对于实数a，a2＜0
D．两直线平行，同位角相等
6．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3
7．（3分）若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，则4a2﹣2a的值是（ ）
A．10B．5C．﹣5D．﹣10
8．（3分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm，水面宽AB＝56cm，则水的最大深度是（ ）
A．7cmB．14cmC．21cmD．28cm
9．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上有三个点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3），那么y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＝y3＜y2C．y1＝y2＜y3D．y2＞y1＞y3
10．（3分）已知关于x的一元二次方程没有实数根，且a满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2B．
C．D．且a≠2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的对称轴为 ．
12．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解是 ．
13．（3分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”，包装成外观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是 ．
14．（3分）已知点和点B（x﹣3，2）都是反比例函数图象上的点，则k的值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，，BC＝8，则⊙O的半径的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+6x﹣7＝0．
18．（4分）如图，若四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．（6分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若当x＝m，y＝ax2+2x+c取得最大值时，求m的值．
20．（6分）如图，当电压U一定时，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为．
（1）求这个电阻两端的电压；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
21．（8分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为﹣2，4，﹣6，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，3，5．
（1）小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．
（2）小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点A（x，y）的所有情况，并求点A在第二象限的概率．
22．（10分）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m．
（1）如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长；（用含a的式子表示）
（2）设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，使点B落在CD边上；
（2）若AB＝5，BC＝3，连接BB′，求BB′的长；
（3）若∠DAD′＝a，求∠CB′B的度数（用含a的表示）．
24．（12分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AC上运动（不与A、C重合），连结DA、DB、DC．
（1）若∠CAD＝15°，求∠BCD的大小．
（2）求证：AD+DC＝BD．
（3）试探索：四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
25．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0．
（1）求证：一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
（2）若抛物线y＝x2+（k+4）x+k﹣1的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝ax﹣3图象过A，C两点，点P（m，n）在抛物线上．
①若m＜0，且S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．
②点P（m，n）在直线AC下方，求四边形ABCP的面积的最大值．
2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）方程（x﹣2）2＝9的解是（ ）
A．x1＝5，x2＝﹣1B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝﹣7D．x1＝﹣11，x2＝7
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5或x2＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（3分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【解答】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．（3分）平面内，⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【分析】先利用点与圆的位置关系判断点P在⊙O上，然后根据切线的定义可对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，
∴点P在⊙O上，
∴过点P可作⊙O的一条切线．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了点与圆的位置关系．
5．（3分）下列事件中，随机事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c
C．对于实数a，a2＜0
D．两直线平行，同位角相等
【分析】根据随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质可进行求解．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故符合题意；
B、如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c，属于必然事件，不符合题意；
C、对于实数a，a2＜0，属于不可能事件，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，属于必然事件，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质，熟练掌握随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣3＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
7．（3分）若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，则4a2﹣2a的值是（ ）
A．10B．5C．﹣5D．﹣10
【分析】根据a是方程2x2﹣x﹣5＝0的解可得到2a2﹣a的值，进而得到4a2﹣2a的值．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，
∴2a2﹣a﹣5＝0，
∴2a2﹣a＝5，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×5＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程转化为关于a的代数式是解题的关键．
8．（3分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm，水面宽AB＝56cm，则水的最大深度是（ ）
A．7cmB．14cmC．21cmD．28cm
【分析】连接OA，过点O作OC⊥AB，交AB于点D，由题意易得OA＝OC＝35cm，AD＝28cm，然后根据勾股定理可求OD，进而问题可求解．
【解答】解：连接OA，过点O作OC⊥AB，交AB于点D，交圆O于C，如图所示：
∴OA＝OC＝35cm，，
∴，
∴DC＝OC﹣OD＝14cm，
∴水的最大深度为14cm；
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
9．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上有三个点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3），那么y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＝y3＜y2C．y1＝y2＜y3D．y2＞y1＞y3
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：根据题意得：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的对称轴为直线x＝1，
∵﹣2＜0，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
∵4﹣1＞﹣1﹣1＞0﹣1，
∴y2＞y1＞y3．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程没有实数根，且a满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2B．
C．D．且a≠2
【分析】由所给方程是一元二次方程可知a﹣2≠0，由方程没有实数根可知Δ＜0，再解不等组，找出交集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，a﹣2≠0，
∴，a≠2，
∵a满足，
由2a﹣5＜1得a＜3，
由1﹣a≤3得a≥﹣2，
∴﹣2≤a＜3，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即Δ＜0时，方程没有实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ＞0时，方程有两个不等的实数根．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的对称轴为 x＝3 ．
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【解答】解：由y＝2（x﹣3）2﹣4知该抛物线的对称轴为x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
12．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】利用因式分解法求解．
【解答】解：x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故答案为x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13．（3分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”，包装成外观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是 ．
【分析】根据概率公式可直接得出答案．
【解答】解：，
因此小明抽到“冰墩墩”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查简单概率的计算，解题的关键是掌握概率公式．
14．（3分）已知点和点B（x﹣3，2）都是反比例函数图象上的点，则k的值是 0 ．
【分析】把点A、B的坐标代入反比例函数解析式进行求解即可．
【解答】解：把点，B（x﹣3，2）代入反比例函数得：
，
解得：；
故答案为：0．
【点评】本题主要考查反比例函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 （3，4） ．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证明△ABE≌△CAD，可得AD＝BE，CD＝AE，再由点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，可得OD＝3，CD＝AE＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
根据题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵点B的坐标是（﹣3，2），
∴OE＝3，AD＝BE＝2，
∵OA＝1，
∴OD＝3，CD＝AE＝4，
∴点C的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，根据题意得到△ABE≌△CAD是解题的关键．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，，BC＝8，则⊙O的半径的长是 5 ．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，由题意易得∠ACB＝90°，则有∠BCD＝45°，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴△ABD，△BEC都为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O的半径的长5；
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆周角的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质及勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+6x﹣7＝0．
【分析】首先把一元二次方程x2+6x﹣7＝0转化成两个一元一次方程的乘积，即（x+7）（x﹣1）＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣7或x2＝1．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．
18．（4分）如图，若四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【分析】连接AC，BD交于点O，阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，如图：
∵四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形，
∴点O是圆心，OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴⊙O的面积为：π•OD2＝4π，
正方形ABCD的面积为：，
∴阴影部分的面积为：4π﹣8．
【点评】本题考查圆与正多边形，解题的关键是掌握圆内接正方形对角线的交点为圆的圆心．
19．（6分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若当x＝m，y＝ax2+2x+c取得最大值时，求m的值．
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，则有抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当x＝1时，抛物线y＝﹣x2+2x+3有最大值，即为y＝﹣12+2+3＝4；
∴m＝1．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（6分）如图，当电压U一定时，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为．
（1）求这个电阻两端的电压；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
【分析】（1）根据点A的坐标确定U的值即可确定电压；
（2）根据确定的电压的值确定函数关系式，再根据增减性结合电流的值确定电阻的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（9，3）代入得：
，解得：U＝27，
即这个电阻两端的电压27V；
（2）由（1）得：电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为，
当I＝12时，，
解得：，
∵27＞0，R＞0，
∴I随R的增大而减小，
∵电流不超过12A，
∴电阻应控制的范围为．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定反比例函数的解析式，难度不大．
21．（8分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为﹣2，4，﹣6，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，3，5．
（1）小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．
（2）小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点A（x，y）的所有情况，并求点A在第二象限的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列举出点A（x，y）的所有情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：（1）他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意点A（x，y）的所有情况有：（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，3），（4，5），（﹣6，﹣2），（﹣6，3），（﹣6，5），
一共有9种等可能结果，其中点A在第二象限的有4种，
所以点A在第二象限的概率为．
【点评】本题考查了列举法：通过列举法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（10分）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m．
（1）如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长；（用含a的式子表示）
（2）设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可知BC＝（40﹣2x）m，然后根据矩形面积可进行求解；
（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵0＜40﹣2x≤25，
∴7.5≤x＜20；
（3）这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2，
理由如下：由（2）可知：﹣2x2+40x＝250，
化简得x2﹣20x+125＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝400﹣4×125＝﹣100＜0，
∴该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数的应用是解题的关键．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，使点B落在CD边上；
（2）若AB＝5，BC＝3，连接BB′，求BB′的长；
（3）若∠DAD′＝a，求∠CB′B的度数（用含a的表示）．
【分析】（1）用圆规以点A为圆心，AB为半径画圆，交CD于点B，连接AB'，AC，以B圆心，BC为半径画弧，再以A为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点C'，同法确定D′，后连接即可；
（2）根据旋转的性质得到 AB＝AB'＝5，再利用矩形的性质以及勾股定理求出DB'，最后用勾股定理求出BB′即可；
（3）利用旋转的性质得到∠DAD'＝∠BAB'＝a 且AB＝AB'，利用等腰三角形的性质以及行线的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
如图所示即为所求．
（2）由旋转性质可知AB＝AB'＝5，
在矩形ABCD中，AD＝BC＝3，∠ADB'＝90°，
∴，
∴CB′＝5﹣4＝1．
∴.；
（3）由旋转的性质可知，∠DAD'＝∠BAB'＝a，AB＝AB′，
∴∠ABB′＝∠AB′B，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝＝90°﹣​，
∵AB∥CD，
∴∠CB′B＝∠AB′B＝90°﹣​，
【点评】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，旋转的性质以及勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图画角以及线段，并能利用矩形的性质以及旋转的性质求角及线段长 是解决本题的关键．​
24．（12分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AC上运动（不与A、C重合），连结DA、DB、DC．
（1）若∠CAD＝15°，求∠BCD的大小．
（2）求证：AD+DC＝BD．
（3）试探索：四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，从而得到∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）在线段BD上取点P，使PD＝CD，可得△PDC是等边三角形，从而得到PC＝CD，∠PCD＝∠DPC＝60°，进而得到∠ACD＝∠BCP，可证明△ACD≌△BCP，从而得到AD＝BP，即可；
（3）过点B作BE⊥AC于点E，连接OA，则OA＝4，AC＝2AE，根据等边三角形外接圆的性质可得，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，则BD＝BH，∠BAD＝∠BCH，∠DBH＝60°，可得S＝S△ADB+S△BDC＝S△BDH，△BDH是等边三角形，再证得点D，C，H三点共线，过点H作HG⊥BD于点G，求出S△BDH，即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝105°；
（2）证明：如图，在线段BD上取点P，使PD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC，
∵∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PC＝CD，∠PCD＝∠DPC＝60°，
∴∠PCD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCP，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝BP，
∵BD＝BP+PD，
∴AD+DC＝BD；
（3）解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接OA，则OA＝4，AC＝2AE，
∵⊙O为等边△ABC的外接圆，则点O在BE上，
∴OA＝OB＝4，∠ABE＝∠CAO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵点D在劣弧AC上运动，
∴，即，
如图，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，则BD＝BH，∠BAD＝∠BCH，∠DBH＝60°，
∴S＝S△ADB+S△BDC＝S△BDH，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCH+∠BCD＝180°，
∴点D，C，H三点共线，△BDH是等边三角形，
过点H作HG⊥BD于点G，则，
∴，
∴，
即四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
25．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0．
（1）求证：一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
（2）若抛物线y＝x2+（k+4）x+k﹣1的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝ax﹣3图象过A，C两点，点P（m，n）在抛物线上．
①若m＜0，且S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．
②点P（m，n）在直线AC下方，求四边形ABCP的面积的最大值．
【分析】（1）利用根的判别式得到关于k的关系式，并证明其大于0即可；
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式求出k，再利用得到的解析式分别求出点B，C的坐标，利用S△ABP＝S△ABC列方程求解即可；
②将四边形ABCP的面积拆分成S△BOC+S△OPC+S△AOP，再用含有m的代数式分别表示面积，得到关于m的二次函数，求最大值即可．
【解答】（1）证明：由题意得：关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0，
a＝1，b＝k+4，c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+4k+20＝（k+2）2+16＞0，
故该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）解：①把A（﹣3，0）代入y＝x2+（k+4）x+k﹣1，
得：0＝（﹣3）2﹣3（k+4）+k﹣1，
解得：k＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，0＝x2+2x﹣3，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点B（1，0），
当x＝0时，y＝0+0﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴，
∵P（m，n），过点P作PH⊥AB交AB于点H，
∴PH＝|n|，
∴，
∵S△ABP＝S△ABC，
∴2|n|＝6，
解得：n＝﹣3或n＝3，
当n＝﹣3时，﹣3＝m2+2m﹣3，
解得：m＝﹣2或m＝0（舍去），
当n＝3时，3＝m2+2m﹣3，
解得：或（舍去）；
∴点P（﹣2，﹣3）或；
②把A（﹣3，0）代入y＝ax﹣3，
得：0＝﹣3a﹣3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，n）在抛物线上，且在AC下方，
∴n＝m2+2m﹣3，
过点P作PH⊥x轴，作PN⊥y轴，
∴PH＝|n|＝﹣m2﹣2m+3，
PN＝﹣m，
∴S四边形ABCP＝S△BOC+S△OPC+S△AOP，
又∵，
，
，
∴，
即，
当时，四边形ABCP的面积有最大值，最大值为．
【点评】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质解法以及将不规则图形的面积分解成规则的三角形是解决本题的关键．
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