上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷-自定义类型

这是一份上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷-自定义类型，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（）
A. 三角形的周长B. 三角形的内角大小C. 三角形的面积D. 三角形各边的长度
2.如果四条线段a、b、c、d满足，则下列等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知、、都是非零向量，下列条件中不能判定的是（ ）
A. ，B. C. D. ，
5.如果二次函数y＝(x-m)2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
6.下列各命题：①两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；③两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似；④两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似，真命题的是（）
A. ①②③④B. ②③④C. ③④D. ①②
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么 厘米．
8.抛物线与y轴的交点坐标是 ．
9.已知点P是线段的黄金分割点，．若，则 ．
10.如果点A（2，y1），B（5，y2）在二次函数y=x2-2x+n图象上，那么y1 ​​​​​​​y2（填＞、=或＜）．
11.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE// BC．如果，DE= 6，那么BC= ．
12.点G是的重心，若，，则 ．
13.某人在高为30米的建筑物顶部测得地面某观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为 米．
14.已知二次函数图象的顶点在x轴上，则m的值为 ．
15.图为机器上用的螺丝钉，它上面的螺纹以一定的倾斜角度旋转上升．工人旋转螺丝时，螺丝会向前推进．已知一颗直径为6毫米的螺丝钉，若每转一圈螺丝会向前推进1.5毫米，则螺纹初始角的正切值为 ．
16.如图，的面积为，是的中点，、是的三等分点，、分别交于、，则四边形的面积为 ．
17.如图，某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图像时发现：该类型图像上任意一点P到对称轴上的定点的距离，始终等于它到定直线：的距离．他们称定点为图像的焦点，定直线为图像的准线．例如，抛物线，其焦点坐标为．准线方程为：．请写出抛物线的焦点坐标 ．
18.四个完全一样的矩形摆放位置情况如图所示，夹角为，，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：．
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，对称轴为直线．
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 若抛物线向左平移个单位长度后，抛物线恰好经过原点，求m的值．
21.(本小题8分)
已知：如图，在中，，为斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
(1) 求证：AC2＝BC•CD；
(2) 若AD是△ABC的中线，求的值．
23.(本小题8分)
如图1，在每个小正方形边长为1的网格图中有一条线段．小东与同学们分享了自己利用无刻度直尺（仅能画直线）作线段中点的方法，其具体步骤如下：
①任取三条与相交的相邻网格线a、b、c，其中a、c分别与线段相交于点C、D两点；
②在中间的网格线b上任取一个格点E，连接并延长与网格线c相交于点G，连接并延长与网格线a相交于点F；
③连接与网格线b交于点M；
④连接并延长交于点N；
⑤连接并延长交于点P，则点P即为线段的中点．
(1) 经讨论，大家认为小东分享的方法是正确的，结合图2，解答以下问题：
①M_____线段的中点（填“是”或“不是”）；
②证明该方法的正确性．
(2) 小东还给出了一个作图题考同学们：只用仅能画直线的无刻度直尺将图3中的直角梯形分成面积相等的两部分，请保留作图过程痕迹．
24.(本小题11分)
如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，．
(1) 求的值；
(2) 点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标；
(3) 若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值．
25.(本小题14分)
四边形是菱形，，，是边上的一个动点，连接并作，交边于点．
(1) 如图1，当时，求的长．
(2) 设，，请写出与之间的函数关系式．
(3) 是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】9
8.【答案】
9.【答案】
/​​​​​​​
10.【答案】＜
11.【答案】10
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：

20.【答案】【小题1】
解：∵二次函数（b，c为常数）的图像经过点，对称轴为直线．
∴
解得
∴二次函数的表达式为；
【小题2】
，
则抛物线向左平移个单位长度后，得到二次函数的表达式为，
∵抛物线恰好经过原点，
∴
解得（不合题意，舍去）
∴m的值为2．

21.【答案】【小题1】
证明：∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，，
∴，
∵
∴．

22.【答案】【小题1】
证明：，，
，
，
，
，
，
．
【小题2】
解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：①点M是线段的中点，
过点作水平网格线的平行线交于点，则由网格特征可得，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点M是线段的中点，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴点M是线段的中点，
【小题2】
解：延长交于点，连接交于点，连接交于点，并延长交于点，则直线将直角梯形分成面积相等的两部分．
∵，
∴，
∴
∴，
设，即，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入，则，
∴，
∴
∴，
再由得，
∴，，
设间的距离为，
∵，，
∴，
故直线将直角梯形分成面积相等的两部分．

24.【答案】【小题1】
解：依题意，分别把，代入，
得，
解得．
【小题2】
解：由（1）得，
则，
令，则，
∴，，
故，，
分别过点作，，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，
设的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴，
设的解析式为，
把，分别代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
依题意，把代入，
得，
则，
即点，
∵点为抛物线上第一象限内一点，且，
∴，
整理得，
∴，；
此时的，
故，是符合题意的；
当时，则，，此时，
当时，则，，此时，
综上：或．
【小题3】
解：由（2）得，整理，
∵为抛物线的顶点，
∴，
∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接、，．如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为，
把代入，
得，
∵点在，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
则，即，
∴是等腰三角形，
过点作，
∵，
∴，
则，
∴，令，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∴或，
∴（舍去）或，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
，
，
又，
在和中，，
，
，
，
又，
，
；
【小题2】
解：如下图所示，过点作于点，连接，
四边形是菱形，
平分，，
，
则有，
，
把绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，，
，
，，
则，，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
整理得：；
【小题3】
解：当或时，是直角三角形．
理由如下：
如下图所示，连接，
则，，，，
，，
为直角三角形，
当时，，
，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
；
当时，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
；
综上所述，当或时，是直角三角形．