重庆市2025_2026学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共20页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．试卷由”整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每题给出的四个选项，只有一项符
合题目要求．
1. 等比数列 满足 =3，则 =（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即得.
【详解】在等比数列 中，由 ，得 .
故选：D
2. 已知集合 ， ， ，则实数 a 取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集结果得到 ，则得到相关方程，最后验证即可.
【详解】 或 ，解得 或 2，
由集合互异性知 ，故 ，
故选：C．
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3. 已知平面向量 则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算求解.
【详解】由向量 ，得 ，则 ，而 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .
故选：A
4. 定义在 R 上的偶函数 满足 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的分段函数分段判断代入，结合偶函数的性质求出函数值.
【详解】定义在 R 上的偶函数 ，
则 .
故选：B
5. 已知 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.
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【详解】 ，
.
故选：D.
6. n 元有序数对 ，其中 且 不全相等 ，则满足
方程 的有序数对 共有（ ）组.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得 ，再根据不等式 得 ，最后利用分步乘法计算公式
即可得到答案.
【详解】由 ，得 ，即 ，
又 ，从而 ，
当且仅当 时等号成立，即 ，
又 不全相等，故有序数对 共有 种情况，
故选：A．
7. 勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以
等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边
三角形.如图，已知 M 是边长为 2 的勒洛三角形 ABC 边上的动点，且 则λ
+μ的最大值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 与 交于点 ，根据给定条件，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论建立关系
式，再按点 的位置分类确定并求出最大值.
【详解】由 ，得 ，则 ，
令 与 交于点 ，设 ，则 ，
由 三点共线，得 ，则 ，
当 在弧 、弧 上（不含端点）时， ；当 在弧 上（不含端点）时，
；当 与 之一重合时， ；当 与 重合时， ，
因此 最大，当且仅当 在弧 上（不含端点）且 ，
则 ，所以 的最大值为 .
故选：C
8. 定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 ，满足 ，且 ，则满
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足不等式 的实数 的范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到 ，再判断其奇偶性和单调性和奇偶性，从而得到不等式，解出即可.
【详解】由题得： ，
即 ，从而 （其中 为常数），
，又 ，
，因为 的定义域为 R，且 ，则 为
偶函数，
又因为 ，当 时， ，
因为 均在 上单调递增，则 在 上单调递增，则
，结合 ，
则 在 上恒成立，且仅在 时取等号，
则可判断 是偶函数且在 单调递增， ，
解得 或 ，
故选：B．
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 已知函数 的一个对称中心为 ，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B.
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C. 在 单调递增
D. 方程 在 有两解，则实数 a 的范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件求出 ，再利用正弦函数的图象性质逐项判断得解.
【详解】函数 的一个对称中心为 ，得 ，
而 ，则 ， ，
对于 A， 的最小正周期为 ，A 正确；
对于 B， ，B 错误；
对于 C，当 ，得 ， 在 单调递增，C 正确；
对于 D，当 时， ，
而当 ，即 时， ，
此时方程 只有一个解 ，D 错误.
故选：AC
10. 已知数列 满足 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对 A，直接代入 即可判断；对 B，化简得 ，再结合对勾函数的单调性即可判断
数列单调性；对 C，利用裂项求和法即可判断；对 D，利用不等式性质进行放缩即可.
【详解】对 A， ，令 得 ，即 ，解得 ，
故 A 正确；
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对 B， ， ，由 ，可得 ，则
，根据对勾函数性质知 在 上单调递增，
且 ，当且仅当 时等号成立，
则 在 上单调递减，则 为递减数列，从而 ，故 B 正确；
对 C，由 得 ，
，故 C 正确；
对 D，因为 ，且 ， ，
，结合 ，则 ，故 D 不正确，
故选：ABC．
11. 关于曲线 C： 下列说法正确的有（ ）
A. 曲线 C 的方程可化简为 B. 曲线 C 与直线 有且只有一个公共点
C. 曲线 C 全部位于第四象限内 D. 点 在曲线 C 上，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由给定等式同构变形，借助函数 单调性判断 A；利用导数，结合不等式 推
理 判 断 B； 利 用 不 等 式 及 确 定 曲 线 位 置 判 断 C； 构 造 关 于 的 函 数
，借助此函数有零点，再利用导数求解判断 D.
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【详解】依题意， ，
对于 A，令函数 ，函数 在 上单调递增，而 ，
则 ， ，A 正确；
令函数 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
函数 在 上递增，在 上递减， ，
因此 ， ，
对于 B，当 时， ，而 ，则 ，解得 ，
与 矛盾，因此 ，B 错误；
对于 C，由 ，得 ，
即曲线 上的点位于直线 的下方；
由 ，得曲线 上 点位于直线 的上方，曲线 全部位于第四象限，C 正确；
对于 D，曲线 上的点满足方程 ，
令 ，则方程 有解， ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
在 上递增，在 上递减，
，解得 ，
当 从大于 的方向趋近于 时， ，当 时， ，
因此 必有解，D 正确.
故选：ACD
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 复数 满足 ，则 __.
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【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.
【详解】由 得 ， .
故答案为： .
13. 直线 l 与双曲线 C： 交于 ， 两点，则该双曲线的方程为__.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程.
【详解】依题意， ，解得 ，
所以该双曲线的方程为 .
故答案为：
14. 设 A，B，C 是函数 与函数 的图象连续相邻的三个交点，若
则 __.
【答案】
【解析】
【分析】根据 求得 ，从而有 ，取特值
，再根据正弦曲线的性质计算即可.
【详解】由 ，即 ，
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解得 ，从而 ，
不妨设 ，由正弦曲线的对称性和周期性知： ，
又 边上的高为 ，且 ，
，从而 ．
故答案为： .
四、解答题(共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 中角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且满足
（1）求 A;
（2）若 ， 的面积为 3 ，求 的周长.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解.
（2）由（1） 结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，
得 ，即 ，
整理得 ，而 ，则 ，
则 ，解得 或 ，
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由 ，得 ，得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，由 的面积为 ，得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 的周长 .
16. 已知椭圆 C： 的离心率为 右焦点为 F，过 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两
点，当直线 l 垂直于 x 轴时，
（1）求椭圆 C 的方程;
（2）若点 P 在椭圆 C 上，且满足 (O 为坐标原点)，求直线 l 的方程.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率公式和通径计算公式即可得到方程组，解出即可；
（2）设 ，再联立椭圆方程得到韦达定理式，计算出点 坐标，再代入椭圆方程即可得到 值，
即得到直线方程.
【小问 1 详解】
由题意得 ，解得 .
故椭圆 的方程为 ．
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【小问 2 详解】
由题知直线 的斜率不为零，
设直线 ，
则联立 ，可得 ，
由根与系数关系可知： ，
，
，
又 ，则点 坐标满足椭圆的方程，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，故直线 的方程为 ，即
17. 某中学举行有关飞鸟知识的竞答比赛，甲、乙两名同学进入了最后的决赛阶段，该阶段需要两名同学分
别从 6 个题目中随机地抽取 3 个题目来作答，已知 6 个题目中，有 3 个是甲擅长的，一定能答对，另外 3
个是甲不擅长的，每题答对的概率只有 6 个题目中，乙答对每个题目的概率均为 ;甲乙各次
答题相互独立，在决赛阶段作答的 3 个题目中，记甲、乙答对的题目个数分别为 X 和 Y.
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（1）若 求随机变量 Y 的数学期望和方差;
（2）求随机变量 X 的分布列;
（3）求在决赛阶段，乙至少答对一道题目的概率大于甲至少答对一道题目的概率时 p 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据二项分布的均值和方差公式计算即可；
（2）首先分析得 的可能取值为 0，1，2，3，再分别写出其分布列即可；
（3）根据正难则反的原则得到 ，解出即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
.
【小问 2 详解】
的可能取值为 0，1，2，3 且
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
【小问 3 详解】
乙至少答对一道题目的概率为 ，
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甲至少答对一道题目的概率为 ，
由题得： ，结合 解得
18. 已知正项数列 的前 n 项和为 ，满足 .
（1）求 和 ；
（2）若 求证： ;
（3）若 ，数列{ }的前 n 项和为 ，对任意 ，不等式 恒
成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】升次作差得 ，再利用等差数列通项公式和求和公式即可得到答案；
（2）化简得 ，再利用裂项求和法即可证明；
（3）利用错位相减法得 ，再分奇偶数讨论并分离参数，最后根据作商法即可求出
答案.
【小问 1 详解】
，①，
，②，
由②－①得 ，
即 ．
又 ．
又 ，解得 或 0（舍），
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故 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，则
于是有：
.
【小问 3 详解】
由（1）可知： ，
①
②
由①－②得
，
，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，
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当 为奇数时，则有
则 ；
当 为偶数时，
则 ，
综上：实数 的取值范围为 ．
19. 已知函数 ，其中 .
（1）若 ，试讨论 的单调性;
（2）若 有 3 个零点 .
(i)证明： ;
(ii)若 成等差数列，求： 的值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）分 和 两大类讨论，当 时，求导再对 进行分类讨论即可；
（2）（i）首先通过对 的分类讨论以及函数单调性分析得 ，从而有极大值大于 0，再解出 的
范围，再利用不等式性质进行合理放缩即可；
（ii）令 则 ，则 ，设公差为 ，通过两式相
除得到 ，同理得到 ，则得到关于 的方程，解出 值，最后代入计算即可.
【小问 1 详解】
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，
①当 时：显然 ，显然在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时：当 时， 在 上单调递增；
当 时， ；
由 ，
当 ，即 时，
则 时， ； 时， ； ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 ，即 时，则 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
由 连续性知 在 上单调递增．
综上：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调
递增；
当 时， 上单调递增．
【小问 2 详解】
（i）当 时， 在 上单调递减，至多有一个零点，
当 时， ，因为 均在 上单调递减，
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则 在 上单调递减，至多有一个零点，
而 在 上恒大于 0，所以不可能有 3 个零点，因此 ，
由（1）知： ，
由（1）及 ，
又因为 在 上单调递增，所以 在 上恰有一个零点．
又 时， ，
若想要 有 3 个零点，则必有 ，
即 ，即 ，
解得 ，且 ，则 ，
故 ；
（ii）令 ， ，则 ，即 ，
所以 ，
所以有： ，由于 同号，两式相除得 ，
令题中等差数列的公差为 ，所以 ，得 ，
同理，由 异号，所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，解得 ．
代入 ，得 ，
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所以 ．