2024—2025学年度浙江省杭州地区(含周边)高二上学期11月（期中）数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度浙江省杭州地区(含周边)高二上学期11月（期中）数学试题[含解析]，共22页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷， “”是“直线与圆相切”的， 若复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟：
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】运用斜率与倾斜角关系求解即可.
由题直线的斜率为，
设直线的倾斜角，则且，
所以倾斜角.
故选：B.
2. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（）
A. 12B. 11C. 10D. 9
【正确答案】C
【分析】根据百分位数概念，求出分位数，也求出平均值，构造方程计算即可.
这组数据一共有个，，，则.
这组数据的分位数是第个数，即. 这组数据的平均数为.
因为这组数据的分位数等于它们的平均数，所以.
解得.
故选：C.
3. 若复数满足，则复数（）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】运用复数除法运算计算即可.
满足，则复数.
故选：D.
4. 已知平面向量为单位向量，若，则（）
A. 0B. 1C. D. 3
【正确答案】B
【分析】根据已知条件求出值，再利用这个值计算.
已知，根据向量模长公式，可得.
展开得到.
因为，是单位向量，所以，即，.
代入上式可得，解得.
同样根据向量模长公式，.
将展开得到.
把，，代入可得.
所以.
故选：B.
5. “”是“直线与圆相切”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，
即，
，即，
∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，
故选：A．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．
6. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离.
已知点和点，则.
向量在上的投影长度.
先求.再求.所以.
根据勾股定理，点到直线的距离.
先求.则.
故选：C.
7. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的加法公式求出。
因为与是对立事件，根据对立事件概率之和为，已知，所以.
根据以及，，通过求出，即。
然后.
根据概率的加法公式，将，，代入可得.
故选：D.
8. 已知直线与动圆，下列说法正确的是（）
A. 直线过定点
B. 当时，若直线与圆相切，则
C. 若直线与圆相交截得弦长为定值，则
D. 当时，直线截圆的最短弦长为
【正确答案】C
【分析】对于直线方程，可通过整理式子找到定点；对于圆的方程，化为标准方程可得到圆心和半径.然后根据直线与圆的位置关系相关定理，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断.
对于A，将直线整理为.
令，解方程组，得，即，
将代入得，所以直线过定点，故A选项错误.
对于B，当时，直线方程为，即.
圆，圆心，半径.
因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，
或，解得或，故B选项错误.
对于C，圆，圆心，半径.
直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关.
当时，，，是定值，故C选项正确.
对于D，当时，求直线截圆的最短弦长
当时，圆，圆心，半径.
直线过定点.
圆心到定点的距离.
根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 若复数，则下列说法正确的是（）
A. 的虚部是
B. 的共轭复数是
C. 的模是
D. 在复平面内对应的点在第二象限
【正确答案】BC
【分析】根据复数的虚部、共轭复数、模的计算，以及复数的平方运算和复平面的概念，通过分别计算和分析各个选项来得出正确答案.
对于A选项，，这里，，所以的虚部是，A选项错误.
对于B选项，因为，所以的共轭复数，B选项正确.
对于C选项，对于，则，C选项正确.
对于D选项，先计算.
在复平面内对应的点为，这个点在第四象限，D选项错误.
故选：BC.
10. 如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（）
A. 存在使得
B. 任意，使得
C. 存在，使得共面
D. 任意，使得共面
【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，结合向量共面的条件，由此可得结果.
对于A，，得，A选项正确；
对于B，，
故，B选项错误；
对于C，，则时，共面，
C选项正确；
对于D，正方体中，，，四边形为平行四边形，
都在平面内，所以任意，都有共面，
D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知曲线的方程，则以下结论正确的是（）
A. 无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称
B. 无论实数取何值，曲线都是封闭图形
C. 当时，曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数的点）
D. 当时，曲线所围成的区域的面积小于
【正确答案】AC
【分析】选项A，利用曲线上任意一点关于轴的对称点仍在曲线上，即可判断；选项B，根据条件可得到，当时，及，从而可得，，即可判断；选项C，通过对曲线方程特点分析，分，，三种情况下，曲线图象经过的点，即可判断；选项D，由C项得到的整点围成的图形面积之和即可判断.
对于选项A，设是曲线上任意一点，则其关于轴的对称点为，
又因为，即点也在曲线上，
所以曲线关于轴对称，故选项A正确，
对于选项B，由得到，
故，当时，，此时曲线不封闭，故选项B错误，
对于选项C，当时，曲线为，
当时，代入可得，解得，即曲线经过点，
当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数，
当时，，解得或，即曲线经过，
根据曲线关于轴对称可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，所以选项C正确，
对于选项D，当时，曲线，
当，曲线方程为：即
设，则，其中，
因，故.
当时，则，
若且，则由得，
但此时，矛盾；
故当时，，或，
由C可知此时图形是封闭的，故此时曲线与坐标轴围成的面积大于1，
当时，，此时，
而，，故此时曲线在的下方，
此时曲线与坐标轴围成的面积大于，
由A中曲线的对称性可得曲线围成的面积大于，故D错误.
故选：AC.
关键点点晴：本题的关键在于选项C,对二次方程中的绝对值进行分类讨论，找到曲线经过的整点，以此为突破口，可解决整点个数，对于D，借助三角换元研究曲线点的坐标特征.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是______.
【正确答案】
【分析】圆台的体积公式（其中为圆台的高，为下底面半径，为上底面半径），我们需要先根据圆台的母线长、上下底面半径求出圆台的高，再代入体积公式计算体积.
设圆台高为，根据圆台的母线、高和上下底面半径之差构成直角三角形，
其中母线为斜边.已知，，，根据勾股定理，
，
代入圆台体积公式，
所以.
故答案为.
13. 已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】根据题设及点线距离公式整理得，结合其几何意义得求参数范围，再由椭圆离心率公式求离心率范围.
由题意，椭圆左右焦点坐标为，
所以，即，
即在数轴上到的距离和为8，故，即，
所以.
故
14. 已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】对于正三棱锥，底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范围，需要先求出外接球的半径以及球心到点的距离，的取值范围就是球心到点的距离加减外接球半径.
因为底面是正三角形，.
根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得.
设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为.
因为为中点，在上，且.
对于正三角形，，则.
在中，，，根据勾股定理.
设外接球半径为，球心在高上.
根据，将，代入可得：
. 展开得.
移项化简得，解得.
因为.
设球心到点的距离为，在中，，，根据勾股定理.
的最小值为，最大值为.
，.
所以取值范围是.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：
（2）已知落在60,70成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差；
（3）若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
【正确答案】（1）人
（2），
（3）
【分析】（1）根据频率算出人数即可；
（2）根据长方体面积和为1，求出a，根据分层抽样的平均值，方差公式计算即可；
（3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案.
【小问1详解】
人，人，不高于50分的抽到人.
【小问2详解】
由题意可知，解得
由图中可知：落在60,70的学生人数为30人，落在的学生人数为60人，
故，
.
【小问3详解】
记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A，
则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.
16. 在中，内角的对边分别为，若
（1）求的大小；
（2）若是线段上一点，且，求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理计算；
（2）借助向量分点的向量性质，结合基本不等式和面积公式计算即可，
【小问1详解】
由题意，
根据正弦定理得，即，
根据余弦定理可知.
【小问2详解】
由题意边上一点，且，可得，
，
故，，
故，当且仅当时取到等号，
故，
即的最大值为，当且仅当时取到等号
17. 在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点
（1）求圆的方程；
（2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）对于求圆的方程，需要确定圆心坐标和半径.根据圆与y轴相切可知圆心到y轴距离等于半径，再利用圆过两点可列出方程求出圆心和半径.
（2）对于求直线方程，设出直线方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，再结合弦长公式以及已知条件列出方程求解直线斜率.
【小问1详解】
在平面直角坐标系中，圆与轴相切，
设圆方程为，又圆过点，
则，
可得，故圆的方程为
【小问2详解】
显然当直线斜率为0时不合题意，设直线
将直线与圆联立方程组：，整理得，
整理可得，即
可得，
，
化简可得，经验证
所求的直线方程为
18. 如图所示，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求四棱锥的体积；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判断定理可解；（2）取的中点取的中点，得到是二面角的平面角.连接在，中，运用勾股定理逆定理得到.再用圆锥体积公式计算即可;（3）根据第（2）题，可建系，不妨令，求出关键点坐标，求出两个面的法向量，结合向量夹角公式计算即可.
【小问1详解】
取的中点是的中位线，
，又，
四边形是平行四边形 ,
，又平面平面.
平面.
【小问2详解】
取的中点是以为斜边的等腰直角三角形，
取的中点，底面是等腰梯形，.
是二面角的平面角.
连接
，
中，，
在中，.
，
二面角的平面角.
.
【小问3详解】
根据第（2）题，二面角的平面角，
平面平面，如图，建系，不妨令，
则
设平面的法向量是
，即，令，解得
设平面的法向量是
，即令，解得
设二面角的平面角大小为
由图可知二面角的平面角为钝角，故余弦值为.
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为，离心率为，设Px0,y0是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当轴，求的面积；
（3）若分别记的斜率分别为，求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可；
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，当时，可得，即P1,22，故求得直线方程为，直曲联立，借助韦达定理，再用面积公式计算即可；
（3）设，与椭圆分别联立方程，求出，，表示出，借助基本不等式可解.
【小问1详解】
由题意：，
可得：，
故椭圆方程；
【小问2详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2，
当时，由在第一象限，可得，
即P1,22，故求得直线方程为，
联立方程，得，
整理得，
，
所以；
【小问3详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2，因为Px0,y0在椭圆上，故，
由题意
故将直线与椭圆联立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即
同理：将直线与椭圆联立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即，
所以，
故
由Px0,y0在第一象限内，故
的最大值为，当且仅当在处取到等号.