河南省青桐鸣大联考2025-2026学年高三上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省青桐鸣大联考2025-2026学年高三上学期1月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含河南省青桐鸣大联考2025-2026学年高三上学期1月质量检测数学试题docx、河南省青桐鸣大联考2025-2026学年高三上学期1月质量检测数学试题pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.已知集合A =(x|x²0)是定义在R 上的偶函数，则φ的最小值为 A B C D
Q
5.设 f(x) 是定义在R 上且周期为4的奇函数，当5≤x0,
故B 错误.
故选B.
9.ABD【 解析】由 cs A(1-sin C)=sin Acs C, 得 cs A-cs Asin C=sin Acs C,得 cs A= sin Acs C+cs Asin C,得cs A=sin(A+C)= sin B,
·数学答案(第1页，共6页) ·
对于A,B, 由 cs A=sin B,可得 sin B,因为A,B∈(0,π), 且均不为2,则 ,且不为π,则 或 B, 即 或 ,因为△ABC 为斜
三角形，故 ,即角B 为钝角，故A,B 均 正确；
对于C, 由 A 项已得角B 为钝角，则cs B0,故sin A≠cs B,故C 错误；
对于D, 由正弦定理，,又 cs A=
sin B,代入得,所以 btan A,故D 正确.
故选ABD.
10.BC【 解析】对于A, 当AB 垂直于x 轴时，AB的 长度最短为4,故A 错误；
抛物线的方程为y²=4x, 焦点F(1,0), 准线l:
x=-1, 设 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 点 M
对于 B, 由抛物线的定义知， |AB|=|AF|+
|BF|=x₁+1+x₂+1=6, 有 x₁+x₂=4, 所以
M 到y 轴的距离 故B 正确；
对于C, 当直线AB 的斜率不存在时，M(1,0),M 到y 轴的距离为1.
当直线AB 的斜率存在时，设为k(k≠0), 则直线 AB 的 方 程 为 y=k(x-1), 联 立
得k²x²—(2k²+4)x+k²=0,
则 ,所以 M 到y 轴的距离为
综上，M 到y 轴的最小距离为1.故 C 正确；
对于D, 当直线 AB 的斜率存在时，同上设为k (k≠0), 则
因为k≠0, 所以1+k²>1, 所以 √ 1+k>1, 所以
2 √ 1+k²>2, 所以 , 即 0 0, 即 k≠0.
则 (5分)
则OA·OB=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁z₂+y₁y₂
三x₁x₂+(kx₁+1)(kx₂+1)
=(k²+1)x₁x₂+k(x₁+x₂)+1
(8分)
由题意，,解得. (9分) (ii) 不存在.
理由如下：因为直线l:y=kzx+m 与圆x²+y²= 1相切，
,即m²=1+k² . (10分)
联立消去y 得(1+5k²)x²+10kmz+
5m²-5=0,
则△=(10km)²-4(1+5k²)(5m²-5)=20(5k²+
1-m²)=80k²>0, 则 k≠0. (11分)
(12分) 则 OA·OB=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂
三x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)
=(k²+1)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²
(16分) 故不存在常数λ,使OA·OB=λ,λ 恒为定值(因 结果与k 有关). (17分)
19.解：(1)由2ˣ—k≠0, 得2ˣ≠ k,
若k>0, 则定义域为{x|x≠lg₂k}, 要使其关于 原点对称，则lg₂k=0, 解得k=1,
此时 ,由f (一x)=-f(x), 得
, 得
,所以a+3·2ˣ=a·2+3, 整理得 (a-3)(2ˣ-1)=0 对任意x≠0 恒成立，则a=
3; (2分) 若k≤0, 则定义域为R, 则 f(0)=0, 即 解得 a=-3, 此 时 由 f (一x)=-f(x), 得
,得 ·,所以 1—k·2²=2ˣ—k, 整理得(k+1)(2²-1)=0 对 任意x∈R 恒成立，则k=-1. (4分) 综上，k=1,a=3 或 k=-1,a=-3. (5分)
(2)(i) 证明：函数h(x)=1n x+cs x 的定义域 为(0,+∞),
,令h'(x)=0,
0, (6分)
所以,所以
即tsin t=1. (8分)
(ii) 证明：存在性：因为
所以由零点存在定理可知，存在,使
得 h(x₀)=0; (10分)
唯一性：,作出 与 sin x的大致图象如下图所示，
所以存在 ,使得
sin x₁=0,所以 (11分)
且当
故函数h(x) 在)上单调递减，在(x₁,π) 上 单调递增，
cs +cs x₁=-In sin x₁+
cs x1, (12分)
,则
因为 ,所以 cs x∈
即 g'(x)>0, (13分)
上 单调递增，所以
0.924>0,
即时，h(x)m:>0, (14分) 作出y=-In x 与y=cs x 的大致图象如下图 所示，
观察图象可知，若当 时 ，h(x)m:>0, 则当x∈[π, 十∞]时，h(x)>0,
时 ，h(x)>0, 函数 h(x)
无零点， (15分)
当 单调递减， 当x→0 时 ，h'(0)→+∞; 当 时
所以存在唯一实数
h'(x)0,
所以h(x) 在(0,m) 上有一个零点，h(x) 在
上无零点，故h(x) 在 上只有一个 零点， (16分)
即当 时，函数h(x) 有唯一的零点. 综上，函数h(x) 有且仅有一个零点x.(17 分 )