2026届云南省名校联盟高三上学期联考模拟（四）数学试卷（学生版）

这是一份2026届云南省名校联盟高三上学期联考模拟（四）数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，若是的子集，则实数（ ）
A. -1B. 0C. 1D.
2. 已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数满足，，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
4. 记为等比数列的前项和，已知，若的公比小于零，则（ ）
A. 15B. C. 31D. 61
5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
6. 已知为的边的中点，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（ ）
A. B. C. D.
8. 把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（ ）
A. 2B. 3C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 由正四棱锥和四棱锥拼接得到一个组合体，与在平面的异侧.若该组合体的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的所有棱长都为1，则（ ）
A. 球的表面积为
B. 组合体体积最大值为1
C. 当组合体体积为时，点的轨迹是半径为的圆
D. 当组合体的体积最大时，其表面积为
10. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的极小值点
B. 当且仅当时，恰有三个零点
C. 若的解集为，则
D.
11. 在平面直角坐标系中，有一种常见的曲线，称为三叶玫瑰线.已知三叶玫瑰曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线与直线有且仅有一个交点
C. 曲线上的任意一点到坐标原点距离的最大值为2
D. 曲线上的任意一点横坐标的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正六边形的边长为1，则_____________.
13. 已知抛物线的焦点为，直线与交于（点在轴下方）两点，点（点在轴上方）在上，且轴，则直线的斜率为___________.
14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为.
（1）求；
（2）若，求满足条件的值的和.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）证明：函数存在唯一极值点，且.
17. 如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2.
（1）求证：；
（2）当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值.
18. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）设，，求的最大值.
19. 二次剩余理论中有如下定义：对于正整数，若存在一个整数，使得能整除，则称是的一个二次剩余，否则称为二次非剩余.二次剩余理论在噪声控制工程学、密码学以及大数分解等领域有广泛的应用.
现需编制一个随机数字串，编制要求如下：
①记，，.
②从1到16这16个整数中随机抽取一个整数，作为.
③若，则从中随机选取一个数作为；
若，则从中随机选取一个数作为.
（1）求；
（2）记的概率为.
（i）求；
（ii）求 .