广东省惠州市2026届高三上学期第二次调研数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.复数
A. B. C. D. -i
【答案】D
【解析】.
2.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以 .
3.已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ,可得 ,由 ,可得 ,则 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4.设函数 ，则
A. 在 单调递增 B. 在 单调递减
C. 在 单调递增 D. 在 单调递减
【答案】C
【解析】函数定义域为 ,故排除 A、B,由复合函数的单调性知 在 上单调递增,且 在 上单调递增,则 在 单调递增.
5.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同，则积不容异”. 意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为 3 且圆心角为 的扇形,由此推算三棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知,几何体的体积等于圆锥的体积,圆锥的侧面展开图恰为一个半径为 3 的圆的三分之一,所以圆锥的底面周长为 ,故圆锥的底面半径为 1,母线为 3,所以圆锥的高为 ,则圆锥的体积 ,从而所求几何体的体积为 .
6.已知 为抛物线 的焦点， 是抛物线 上不同的两点， ， 则线段 的中点到 轴的距离为
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】抛物线的准线为 ,过 作准线的垂线,垂足为 的中点为 ,过 作准线的垂线,垂足为 ,因为 是该抛物线上的两点,故 ,所以 ,又 为梯形的中位线,所以 ,故 轴的距离为 .
7.已知数列 的前 项和为 ，则
A. 393 B. 403 C. 406 D. 414
【答案】C
【解析】由 ,两式相减得 ,即 . 再由 ,两式相减得 ,由 ,得 , 故 为以 14 为首项,8 为公差的等差数列,故 , 故 .
8.在 中,记内角 所对的边分别为 ,已知 的面积为 2, ,且 ,则 的最小值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】由 得,
由正弦定理 ( 为 外接圆半径)得， ，
因为 ,所以 ,
若 ,由余弦定理得, ,所以 为锐角,
则 ,即 ,由于 ,则 ,
所以 ,矛盾.
故 ，即 ，所以 ，即 ，
又因为 ,所以 (当且仅当 时取“=”号),
所以 的最小值为 4.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知正项等比数列 中 ,设其公比为 ,前 项和为 ,则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】因为 ,可得 ,即 ,解得 或 , 又由正项的等比数列 ,可得 ,所以 ,所以 正确;
数列 的通项公式为 ,所以 正确;
则 ,所以 不正确;
由 ,则 ,所以 ,所以 正确.
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线 上一点,则下列说法正确的是
A. 双曲线 的离心率
B. 的最小值为
C. 若 ，则 的周长为
D. 双曲线 上存在不同两点 关于点 对称
【答案】AC
【解析】对于双曲线 ,
A 选项, ,所以 A 选项正确;
B 选项，设 ，则 ， ，
化简得 ，当 时， 取得最小值 -2，故 B 选项错误；
选项，由 ，可得 ，
又 ,故 ,
则 ,所以 的周长为 ,
C 选项正确;
D 选项,设不同两点 关于点 对称,
则 ,则 ,两式相减并化简得 ,
则 ,即 ,此时直线 ,
代入双曲线方程得 ，
这与 是双曲线上不同的两点矛盾,所以 选项错误.
11.已知定义在 上的函数 不是常数函数,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于 ,令 ,则 ,即 ,又函数 不是常数函数, ,即 ,故 正确;
对于 ,令 ,则 ,所以 ,即 , 故 B 错误;
对于 ,令 ,则 ,令 ,则 ,
由 可知,当 时, ,则 ,
故 C 正确;
对于 ,令 ,则 ,所以 ,
则 ,又 ,
当且仅当 时等号成立,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 ，若 ，则 ________.
【答案】1
【解析】由 得 ,又 ,所以 ,得 .
13.已知函数 ,若 ,则 _______.
【答案】 2
【解析】由题意得 ,则 ,所以 ,故 .
14.一个盒子里装有六张卡片,分别标记有数字1,2,3,4,5,6,这六张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ，则满足 的情况有_____种.
【答案】54
【解析】由 ,可得 ,
所以 . 不妨设 ,则 ,还有一个数为 , 显然 ,对于任意 取值,都有如下情况,
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法;
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法;
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法;
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法.
所以一共有 种 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 ，且 .
(1)求 的对称中心；
(2)将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 . 设 为角 终边上的一点，求 .
【解析】(1)由条件 得 ,
又 ,所以 ,
所以 ,令
得 ,
所以 的对称中心为 .
(2)【法一】由由 为角 终边上的一点，故 ，
由三角函数的图象变换性质可得 ,
所以 ,
又 ,
从而
【法二】由 为角 终边上的一点,则 ,
由三角函数的图象变换性质可得 ,
.
16.如图，在四棱柱 中， 平面 ， ， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】(1) 取 中点 ,连接 ,
由 是 的中点,故 ,且 ,
由 是 的中点,故 ,且 ,
则有 ,
故四边形 是平行四边形，故 ,
又 平面 平面 ,
故 平面 .
(2)以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
有 、
则有 ,
由( 1 )知 平面 ，
故点 到平面 的距离即为 到平面 的距离.
设平面 的法向量为 ,则有 ,
取 ，则有 ，即 ，
又 ,则有 ,
即点 到平面 的距离为 .
(3)设平面 的法向量为 ,则有 ,
取 ,则有 ,故 ,
则 ,
故平面 与平面 的夹角余弦值为 .
17.为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平. 某体质监测中心随机抽取了该校 10 名学生进行体质测试，得到如下表格:
记 分别为这 10 名学生体质测试成绩的平均分与方差,且 .
(1)求 ；
(2)若规定体质测试成绩低于 50 分为不合格,现从这 10 名学生中任取 3 名，用 表示所抽到的 3 名学生中体质测试成绩不合格的人数，求 的分布列及数学期望；
(3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布 ，用 ， 的值分别作为 的近似值. 若监测中心计划从该市随机抽取 100 名高中生进行体质测试，记这 100 名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 的人数为 ,求 的数学期望.
附:若 ,则 ,
【解析】(1) .
(2)因为体质测试不合格的学生有 3 名，所以 X 的可能取值为 0，1，2，3.
因为 ,
. 备注: 每个概率 1 分)
所以 的分布列为
期望 .
(3)因为 ，
所以 ,
因为 ,
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间 的概率约为 0.8186,
故 ,
所以 .
18.已知椭圆 经过点 分别为 的左、右焦点,离心率 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的角平分线所在直线 的方程；
(3)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率分别为 ,是否存在常数 ,使得 为定值? 若存在,求出 及该定值; 若不存在, 请说明理由.
【解析】(1) 设椭圆方程为 ,
因为椭圆 经过点 ,所以 ,
又离心率 ,
解得 ,
故椭圆 的方程为 .
(2)【法一】 ，则直线 方程为 ，
直线 方程为 ,
设角平分线上任意一点为 ,则 ,
得 或 ,
因为斜率为正,所以直线方程为 .
【法二】设 ,则 ,
故 ，由于 是锐角,则 ，
所以 ,
直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 .
【法三】设角平分线与 轴交于点 ,则
即 ,故
得 ,
所以
所以
故直线 的方程为 .
(3)设直线 方程为 ，
联立 得 ，
设 ,则 ,
则
故当 时,使得 恒为定值 -1 .
19.已知函数 的最小值为 0，其中 .
(1)求 的值；
(2)若对任意的 有 成立，求实数 的最小值；
(3)证明 .
【解析】(1) 的定义域为 ,
由 ,得 , 2 分当 变化时, 的变化情况如下表:
因此, 在 处取得最小值,故由题意 ,所以 .
(2)当 时，取 ，有 ，故 时不合题意.
当 时,令 ,即 ,
令 ,得 ,
① 当 时， ， 在 上恒成立. 因此 在 上单调递减，从而对于任意的 ，总有 ，即 在 上恒成立，故 符合题意.
② 当 时， ，对于 ， ，故 在 上单调递增，因此当 时, ,即 不成立,
故 不合题意.
综上, 的最小值为 .
(3)证明:当 时，不等式左边 右边，所以不等式成立.
当 时,
.
在(2)中取 ，得 ，
从而 ,
所以有

,
综上, .序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 /分
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
0
1
2
3
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增