2025-2026学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断.据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10−5B. 1.5×10−4C. 15×10−4D. 0.15×10−6
3.三角形的重心是三角形的( )
A. 三条中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
4.下列运算正确的是( )
A. (−2a)(a2−a)=−2a3−2a2B. (a+b)2=a2+b2
C. (−3a3)2=9a6D. a8÷a2=a4
5.解分式方程xx−3−1=x−13−x时，去分母正确的是( )
A. x−1=−x+1B. x−(x−3)=x−1
C. x−(x−3)=−x−1D. x−(x−3)=−x+1
6.如图是手工艺人制作的风筝，他根据AB=AD，BC=CD，利用两个三角形全等，不用度量就可以知道∠ABC=∠ADC，他判定两个三角形全等的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
7.如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形.用这两个图的面积表示下列式子正确的是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. a2−b2=(a−b)2
8.《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分10元钱；第二次比第一次增加6人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为( )
A. 10x=40(x+6)B. 10x−6=40xC. 10(x−6)=40xD. 10x=40x+6
9.若2m=a，8n=b，则(2m+n)3=( )
A. a3b3B. a3bnC. a3+bD. a3b9
10.如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，H过点C作CD⊥AC且CD=AC，连接BD，BC=6，则△BCD的面积为( )
A. 12
B. 6
C. 18
D. 9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(12)−1−(π−1)0= .
12.已知a+b=5，ab=3，则a2+b2=______.
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C的坐标为(−2,2)，△A1B1C1与△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)成轴对称，则点C1的坐标为 .
14.人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y−4y，将其分解因式为y(x+2)(x−2).若取x=15，y=12，则有y=12，x+2=17，x−2=13，其中12，17，13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.已知多项式9a3−16a，小明取自己的年龄13为a的值，用上述方法生成的密码为 .
15.如图，在△ABC中，点D在BC边上，AB=AD=DC，∠BAD=α，则∠BAC= (用含α的代数式表示).
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：2(a+2)(a−3)−(a+5)(2a−10)；
(2)计算：2aa2−1÷a+aa2+2a+1−1a−1.
17.(本小题8分)
如图，已知△ABC.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不用写作法)：
作△ABC的角平分线AE，高CD；
(2)在(1)的条件下，若∠ACB=80∘，∠BCD=28∘，求∠AEC的度数.
18.(本小题8分)
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
(1)求证：OD=OE；
(2)F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证：DF=EF.
19.(本小题8分)
【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若ab=cd，则a+ba−b=c+dc−d.
如下证明这个结论的正确性，设ab=cd=k，则a=bk，c=dk，所以a+ba−b=bk+bbk−b=b(k+1)b(k−1)=k+1k−1，同理，c+dc−d=dk+ddk−d=d(k+1)d(k−1)=k+1k−1，所以a+ba−b=c+dc−d.
【类比分析】
(1)若ab=cd=⋯=mn，且b+d+…n≠0，求证a+c+⋯+mb+d+⋯+n=ab=cd=⋯=mn.
【学以致用】
(2)若x，y，z都不为0，且x2=y3=z5，求x−2y+3z2x−y+z的值.
20.(本小题8分)
(1)如图，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，从而可以得到乘法公式为______；
(2)利用(1)中得到的乘法公式，解决下面的问题：
①若a−1a=3，求a+1a的值；
②若两个数的和为60，求这两个数的积的最大值，并求出此时这两个数分别是多少.
21.(本小题8分)
综合与实践
如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
下面给出的画图和证明方法.
如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点C，则牧民到河边C处饮马，所走的路径最短.证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，根据轴对称性质，得CB=CB′，C′B=C′B′…，∴AC+CB=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=AC′+C′B′，
∵AB′120m+n，
∴乙客车用时少先返回学校
【解析】解：(1)设甲客车的平均速度为xkm/h，则乙客车的平均速度为1.2xkm/h，
根据题意得：60x−601.2x=1060，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
答：甲客车的平均速度为60km/h；
(2)乙客车用时少先返回学校，理由如下：
甲客车所用时间为602m+602n=30(m+n)mn(h)，
乙客车所用时间为60m+n2=120m+n(h).
30(m+n)mn−120m+n=30(m+n)2−120mnmn(m+n)=30(m−n)2mn(m+n)，
∵m>0，n>0，m≠n，
∴(m−n)2>0，mn(m+n)>0，
∴30(m+n)mn>120m+n，
∴乙客车用时少先返回学校．
(1)设甲客车的平均速度为xkm/h，则乙客车的平均速度为1.2xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合甲客车比乙客车多用10min，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)利用时间=路程÷速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=CD，∠DCB=∠DBC=60∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCE=∠E=30∘，
∴DC=DE，
∴DB=DE，
∴点D是BE的中点 ∵AC=BC，CF平分∠ACB，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵CA=CB，CF=CF，
∴△CAF≌△CBF(SSS)，
∴∠CB=∠DBC=60∘， ①∠CNB=60∘；②BN=CN+2MN，
证明：如图3，过点C作CH⊥AB于点H，
∴AH=BH，∠CHN=90∘，
∵∠CNB=60∘，
∴∠ANM=60∘，
∴∠HCN=∠NAM=30∘，
∴AN=2MN，CN=2NH，
∴BN=BH+NH=AH+NH=AN+NH+NH=2MN+CN，
∴BN=CN+2MN
【解析】(1)证明：∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=CD，∠DCB=∠DBC=60∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCE=∠E=30∘，
∴DC=DE，
∴DB=DE，
∴点D是BE的中点；
(2)证明：∵AC=BC，CF平分∠ACB，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵CA=CB，CF=CF，
∴△CAF≌△CBF(SSS)，
∴∠CB=∠DBC=60∘，
(3)解：①∵CB=CD，CA=CB，
∴CA=CD，
∵CM⊥AD，
∴∠ACM=12∠DCA=15∘，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠CAB=45∘，
∴∠CNB=∠ACM+∠CAB=15∘+45∘=60∘；
②BN=CN+2MN，
证明：如图3，过点C作CH⊥AB于点H，
∴AH=BH，∠CHN=90∘，
∵∠CNB=60∘，
∴∠ANM=60∘，
∴∠HCN=∠NAM=30∘，
∴AN=2MN，CN=2NH，
∴BN=BH+NH=AH+NH=AN+NH+NH=2MN+CN，
∴BN=CN+2MN.
(1)根据等腰直角三角形和等边三角形的性质即可证明点D是BE的中点；
(2)根据等腰直角三角形的性质证明CF是AB的垂直平分线，可得AE=BF；
(3)①根据三角形的外角定义即可求∠CNB的度数；
②根据含30度角的直角三角形的性质即可得线段BN，CN，MN之间的数量关系．
本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形，等边三角形的性质，三角形的外角定义，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．