湖北省武汉市七彩联盟2024-2025学年度下学期高一年级6月联考数学试卷（无答案）

这是一份湖北省武汉市七彩联盟2024-2025学年度下学期高一年级6月联考数学试卷（无答案），共4页。
命题人： 武汉经开区一中 符玉欣 审题人：武汉市第四中学 韩宜霏
考试时间：2025年6月25日 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
2．与向量垂直的单位向量是（ ）
A． B． C．和 D．和
3．已知圆锥的母线长为，高为，则圆锥的全面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则的面积为（ ）
A． B．7 C．10 D． 14
5．正方体中，分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为60°的是（ ）

A. B. C. D.
6．设是同一个半径为2的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为3，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．9 B．6 C． D．3
7．在中，，，，为的外心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，满足：，．则的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．若复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．复数对应的点在第一象限 D．复数满足，则的最大值为
10．一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（ ）
A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于
B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于
C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于
D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于
11．如图，四面体中，是棱上的动点，是棱上的动点（、不与四面体的顶点重合）.记与所成的角为，与平面的所成的角为，平面与平面的夹角为，则，，的大小关系不可能是（ ）
（注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于的二面角称为平面与平面的夹角）
A． B．
C． D．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为__________.
13．已知向量满足，，．若与夹角是，则__________.
14．设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为__________.
四、解答题:本大題共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）
复数的共轭复数为为虚数单位.
（1）若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数的值.
（2）若，求复数.
16．（本小题15分）
如图，在直三棱柱中，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．（本小题15分）
七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照，分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分）
（3）求样本的方差.
18．（本小题17分）
在中，角所对的边分别为，若的面积，，且有.
（1）求角和角；
（2）若，求.
19．（本小题17分）
（1）如图1，直线与的三边所在直线分别相交于三点.若，，，证明：.
（2）四面体中，分别为棱的中点，经过的平面分别与棱相交于点（不与顶点重合），证明：
①若，则（如图2）；
②平面始终平分四面体的体积。请仅就与平面相交于点时（如图3）证明此结论.