黑龙江省大庆市大庆中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题含答案含答案解析

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1．考试时间120分钟，满分150分
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，再利用集合的运算即可求出答案.
【详解】解不等式得，所以，
所以，即.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】含有一个全称量词的否定将全称量词改为存在量词，再把结论否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中真命题是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ACD，再根据不等式性质即可判断B.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，两边同时乘以，则，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D错误；
故选：B
4. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A. －1B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据幂函数的定义确定的值，再结合幂函数的单调性进一步确定的值，最后代入，求出的值.
【详解】因为是幂函数，所以，解得.
又幂函数在上单调递减，所以，所以，
所以，所以.
故选：C
5. 已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦函数的定义及列方程求参数值.
【详解】由题设，可得.
故选：A
6. 若为第二象限角，且，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知可求得，利用三角函数诱导公式可求得.
【详解】因为为第二象限角，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
所以.
故选：C.
7. 对于的最大值为（ ）
A. －1B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，根据x的范围，可得t的范围，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案.
【详解】令，因为，所以，则，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
故选：D
8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线，与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，由可得，
即，解得或，
当，即时，，
当，即时，，
作出函数的图象如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象有两个交点，
又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点，
由图可得，所以实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，部分选对得部分分，错选不得分）
9. 已知正数a，b满足 ，则（ ）
A. ab的最小值为1B. ab的最大值为1
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】因为，所以由基本不等式 ，
当且仅当时等号成立，此时ab的最大值为1，故B正确；
由基本不等式，
当且仅当时，即时等号成立，的最小值为，故D正确；
故选：BD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的单调递增区间是
C. 函数且的图象恒过定点
D. 函数，若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由对数函数的真数大于零以及分母不为零，解不等式可得A正确；利用复合函数单调性可判断B错误；根据对数函数过定点可得C正确，结合函数奇偶性可得D正确.
【详解】对于A，易知，所以可得且，
因此函数定义域为,即A正确；
对于B，易知，可得，因此定义域为；
又函数在区间上单调递增，
由复合函数“同增异减”的性质可知函数的单调递增区间是，即B错误；
对于C，令，可得，因此，
所以函数的图象恒过点，即C正确；
对于D，易知函数满足；
又，所以，
由可得，即D正确.
故选：ACD
11. 已知，下列选项中说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的值域为
B. 若，则
C. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合二次函数、指数函数、对数函数的性质求解判断A；转换问题为，即为，即可判断B；根据分段函数的单调性求解判断C；直接代值计算即可判断D.
【详解】A，当时，，
当时，，
当时，，
因为函数，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
综上所述，函数的值域为，故A正确；
B，因为，恒成立，
由A知，函数在上单调递增，
所以，即为，
即恒成立，所以，故B正确；
C，由A知，函数在上单调递增，
要使函数在R上单调递增，则，解得，
则的取值范围是，故C错误；
D，因为，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 由三角函数的定义知，＝______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数周期性，可得，作出单位圆与角的终边，求出交点P的坐标，根据三角函数定义，即可得答案.
【详解】由正弦函数的周期性可得，
作出单位圆与角的终边，与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，交x轴于点B，
设单位圆与x轴负半轴交于点A，如图所示

则，，
所以，即，
由三角函数定义可得.
故答案为：
13. 一个扇形的弧长的数值为2，面积的数值为3，则这个扇形的圆心角的弧度数为______rad．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式及弧度制的定义即可求出答案.
【详解】设扇形的弧长为，面积为，半径为，
由得，解得，
所以.
故答案为：.
14. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可.
【详解】因为，所以.
又因为，所以，所以，
设，其中，则.
设，则转化，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，即
所以存在，使不等式成立时，只需
故的取值范围是，
故答案为.
四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分）
15. 已知．
（1）求的值；
（2）若为第二象限角，求的值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式可求得，根据同角三角函数关系进行弦切互化，代入可求得结论.
（2）利用同角三角函数关系及为第二象限角求出，利用诱导公式对所求式子进行化简，将代入即可得到答案.
【小问1详解】
由，得．
故；
【小问2详解】
由（1）知，则，
解得或，又为第二象限角，
则，故，
所以．
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递增和递减区间；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，．
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的单调性确定 取值范围，计算即可.
（2）利用换元法令，由，得出，由正弦函数的性质即可求出在上的值域.
【小问1详解】
由，
解得：，，
函数的单调递增区间为，，
由，，
解得： ，
函数的单调递减区间为，．
【小问2详解】
令，，则，
，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当时，，
当时，，
，即，
函数在上的值域为．
17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中．
（1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利．
（2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种：
方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；
方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备．
请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由．
【答案】（1）；3
（2）两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理.
【解析】
【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可.
（2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较.
【小问1详解】
由题意得使用年后：，
令，即，解得
因为，所以，
即从第3年开始，该设备开始盈利
【小问2详解】
方案①：平均盈利额为，
当且仅当“”即时等号成立
第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元
方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元
第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元，
两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上单调性并用定义证明；
（3）求使成立的实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）在上是减函数，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义以及函数值解方程组可得；
（2）由函数单调性定义按照步骤并结合指数函数单调性证明即可得出结论；
（3）利用函数奇偶性以及单调性解不等式即可得出结果.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，
即①，
又，得②，
由①②可得，此时，
经检验此时满足，即满足在上是奇函数，
所以．
【小问2详解】
在上是减函数，证明如下：
任取，且，则
因为，所以，，
所以，即，
因此在上是减函数．
【小问3详解】
因为是奇函数，所以由
可得，由（2）知是减函数，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围为
19. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，.
（1）求的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数m的取值范围．
【答案】（1）0； （2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）令代入关系式即可求；
（2）设且，结合已知及、单调性的定义证明单调性；
（3）利用函数的单调性及不等式恒成立，将问题化为在上恒成立，再应用指数函数的性质、换元法及分式型函数的性质求右侧的最大值，即可得范围.
【小问1详解】
由对任意，都有，
令，可得，解得；
【小问2详解】
函数在上为单调递增函数，证明如下：
设且，则，所以，
则，即，
所以函数在上为增函数；
【小问3详解】
由（2）知，函数在上为增函数，
对于任意的，不等式恒成立，
所以不等式在上恒成立，且，
即不等式在上恒成立，
设，则，所以在上恒成立，
由在上为增函数，所以，
所以，即实数m的取值范围为.