河南省洛阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷（含解析）含答案解析

这是一份河南省洛阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷（含解析）含答案解析，共17页。试卷主要包含了已知直线与垂直，则实数的值为，点到直线的距离的最大值为，已知数列满足，，则，方程表示的曲线为，已知，在上，则的面积，已知实数满足方程，则等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线与垂直，则实数的值为
A.B.或C.D.或
2.若等比数列满足，，则数列的公比等于
A.或B.或C.D.
3.点到直线的距离的最大值为
A.B.C.D.
4.已知数列满足，，则
A.B.C.D.
5.方程表示的曲线为
A.两个半圆 B.一个圆 C.半个圆 D.两个圆
6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为
A. B. C. D.
7.设点，若在圆上存在点，使，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知，在上，则的面积
有最大值，但没有最小值 没有最大值，但有最小值
既有最大值，也有最小值既没有最大值，也没有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知实数满足方程，则
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最大值为 D.的最小值为
10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则
该圆锥的体积为 该圆锥的侧面积为
的面积为
11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则

为等腰三角形 以为直径的圆与相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知递增的等比数列前项和为，且，则数列的前10项和为__________.
13.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于___________.
14.设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点…)，使，…，组成公差为的等差数列，则的取值范围为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点．
(1)证明：；
(2)证明：．
16.(15分)记为数列的前项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
17.(15分)如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．
(1)求证：．
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.(17分)某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成的形式，其中为常数；
(3)求的值（精确到1）．
()
19.(17分)已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当，四边形为菱形时，求圆的方程；
(3)若直线的斜率乘积为定值，求的值．
13. 14.
1.【解析】，则，解得或.
故选．
2.【解析】因为等比数列满足，，
设公比为，可得且，解得．
故选．
3.【解析】直线表示经过点，且斜率为的直线，
根据点到直线的距离的定义，可知时，点到直线的距离等于，达到最大值．
故选．
4.【解析】因为，，
所以，得；
由，得；
由，得；
由，得．
故选．
5.【解析】两边平方化简得.
由得或.
当时，方程为，
表示圆心为且半径为的圆的右半圆；
当时，方程为，
表示圆心为且半径为的圆的左半圆.
综上所述，得方程表示的曲线为两个半圆.
故选．
6.【解析1】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角.
因为平面，所以，
又，，
所以平面，所以.
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选.
【解析2】建系
7.【解析】已知点在直线上.
设圆与直线的交点为，显然假设存在点，使，
只需满足.
由于，所以只需在中，，
解得，且.
当时，显然满足条件.
故选．
8.【解析】设曲线上一点为，则，则，
，方程为，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选.
9.【解析】∵实数满足方程，表示以为圆心，半径等于的圆．
过原点作圆的切线，由，求得，可得的最大值为，的最小值为，故正确．
令，直线与圆相切时，根据圆心到直线的距离，求得,则的最大值为，故错误．
∵表示圆上的点到原点的距离，它的最小值为圆心到原点的距离减去半径，故的最小值为，故错误.
故选．
10.【解析】依题意，，，所以，
选项，圆锥的体积为，选项正确；
选项，圆锥的侧面积为选项错误；
选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，选项正确；
选项，，所以，选项错误.
故选.
11.【解析】选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则选项正确，且抛物线的方程为.
选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，选项正确.
也可以由焦点弦长公式.
选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，选项错误.
选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，选项正确.
故选.
12.【解析】设递增等比数列前n项和为,公比为.
由，可得，
解得，或(舍去)，
则，,
则数列的前10项和为.
故答案为．
13.【解析】由，及余弦定理得.
设外接圆半径为，则由正弦定理得.
设直棱柱的外接球半径为，则，.
故答案为.
14.【解析】椭圆的右焦点为，设为椭圆上一点，易得，
当时，.
同理，当时，，故的取值范围为.
15.【解析】(1)设的方程为， ………1分
由，得. ………2分
设，则
， ………4分
, ………5分
， ………6分
. ………7分
(2)由(1)得， ………9分
∴， ………11分
∴， ………12分
∴. ………13分
16.【解析】(1)证明：由已知有， ① ………1分
， ② ………2分
②①可得， ………4分
整理得， ………6分
由等差数列定义得为等差数列. ………7分
(2)由(1)可得，，. ………8分
又，，成等比数列，
， ………10分
即，解得， ………11分
， ………12分
， ………14分
当或时,取得最小值． ………15分
17.【解析】(1)证明：
平面平面，平面平面，平面，
∴平面， ………2分
∵平面，
∴． ………4分
(2)取的中点，连接. ………5分
为等边三角形，. ………6分
平面平面，平面平面，平面，
平面. ………7分
，
四边形是平行四边形，
. ………8分
，
两两垂直. ………9分
以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，
.…10分
令，，
. ………11分
设平面的法向量为，
则,
取，得. ………12分
易知平面的一个法向量为， ………13分
，
化简得,
解得或. ………14分
又，，即，
线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为,
此时. ………15分
18.【解析】(1)由题意，得，并且
． ① ………2分
(2)将化成
． ② ………4分
比较①②的系数，可得 ………6分
解这个方程组，得 ………8分
所以(1)中的递推公式可以化为． ………10分
(3)由(2)可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，…12分
则 ………14分
. ………16分
所以. ………17分
19．【解析】(1)由题可得, ………1分
，即椭圆的长半轴长为，短半轴长为， ………2分
. ………3分
(2)当时，椭圆. ………4分
又圆， ………5分
则圆心，半径，如图.
点在椭圆上，， ① ………6分
又直线分别与圆相切于两点，
，且.
四边形为菱形，所以四边形为正方形， ………7分
，
, ② ………8分
由①②得或， ………9分
圆的方程为或. ………10分
(3)直线分别与圆相切，且直线的斜率乘积为定值，
直线斜率都存在.
设直线的方程为，直线的方程为. ………11分
到直线的距离都为2，
， ………12分
即,，
为方程的两根，
. ………13分
又点在椭圆上，
，
. ………14分
直线的斜率乘积为定值，设定值为，
则对恒成立， ………15分
即对恒成立，
,解得, ………16分
的值为2．声明 ………17分：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/22 20:00:34；用户：王伟琪；邮箱：mkz18@xyh.cm；学号：45336144题号
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