河南省淮滨县第二高级中学2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份河南省淮滨县第二高级中学2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，由直线，可知斜率为，
所以，因为，所以.
故选：B.
2. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】首先写成抛物线标准方程，再求准线方程.
【详解】抛物线的标准方程为，开口向上，准线方程为.
故选：D.
3. 已知双曲线 渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率.
【详解】化为，
则，因为双曲线 的渐近线方程为 ，
故，故双曲线的离心率为.
故选：D.
4. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为

A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，故选D．
5. 设数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】C
【分析】根据给定的递推公式，计算数列前5项确定周期，进而求出指定项.
【详解】数列中，，且，则，
，因此数列是周期为4的数列，
所以.
故选：C
6. 已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解.
【详解】直线过定点，
所以，如图，
由图可知实数k的取值范围是.
故选：B
7. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【正确答案】A
【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以.
故选：A.
8. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 108D. 117
【正确答案】A
【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值.
【详解】∵
∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．
易知P，Q两点在l的同一侧，
设点P关于l对称的点，
则，解得，∴，
故．
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列给出的命题中正确的有（ ）
A. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列
B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项
C. 数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，的值为21
D. 数列0，，4，，…的一个通项公式是
【正确答案】BCD
【分析】由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D.
【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错；
B：令，则且，可得，即对应第11项，对；
C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对；
D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对.
故选：BCD
10. 如图，在棱长为2正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ）
A. 直线与所成角的余弦值为B. 点F到直线的距离为1
C. 平面D. 点到平面的距离为
【正确答案】BC
【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，
且E，F，G分别为棱，，的中点，可知，
可得，
对于选项A：因为，
所以直线与所成角的余弦值为，故A错误；
对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且，
点F到直线的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，可得，
且，平面，所以平面，故C正确；
对于选项D：因为平面的法向量可以为，
点到平面的距离为，故D错误；
故选：BC.
11. 已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C离心率为
B. 椭圆上不存在点N使得
C. 点为线段PQ的中点，则的周长为
D. E是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为
【正确答案】BCD
【分析】根据离心率公式计算可判断A的正误，根据无解可判断B的正误，利用点差法求出直线的方程，可判断直线经过椭圆的一个焦点，进而判断C的正误，根据椭圆的定义，将差的问题转化为和的问题，可判断D的正误.
【详解】椭圆的焦点分别为，，则，，，可得.
对于选项A，椭圆的离心率为，A选项错误；
对于选项B，假设在椭圆上存在点，使得，
且，，，
，在实数范围内无解，
椭圆上不存在点使得，B选项正确；
对于选项C，设点，，由题意可得，
若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
所以直线的斜率存在，则由 ，可得，
即，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即，显然直线经过焦点，
所以的周长为：
，C选项正确；
对于D选项，因为到直线的距离为.
，所以D选项正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，，则________
【正确答案】5
【分析】由向量垂直的坐标表示即可计算求解.
【详解】由题可得，
所以.
故5
13. 北京大学为响应他寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．
【正确答案】
【分析】
记3个社团分别为，依题意甲参加社团的概率为，乙参加社团的概率为，
根据相互独立事件的乘法公式得到甲和乙都参加某个社团的概率，再根据互斥事件的概率的加法公式可得甲、乙两位同学参加同一社团的概率.
【详解】记3个社团分别为，依题意甲参加社团的概率为，乙参加社团的概率为，
所以甲和乙都参加社团的概率为，
同理可得甲和乙都参加社团的概率为，甲和乙都参加社团的概率为，
所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为.
故答案为.
本题考查了独立事件的乘法公式，考查了互斥事件的加法公式，属于基础题.
14. 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为__________.
【正确答案】
【分析】根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，
又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，
所以，解得，
所以椭圆的方程为，
由题知切线斜率存在，设切线方程为，
由，消得到，
所以，整理得到，
解得，故所求的直线方程为，即，
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知数列的前项和为
（1）求的最小值，并求此时的值：
（2）求出的通项公式
【正确答案】（1）最小值为，此时或8；
（2）.
【分析】（1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应的值；
（2）应用的关系求通项公式.
【小问1详解】
由，，
故或时，取最小值为；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
显然不满足上式，故.
16. 如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且.

（1）求到面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由线面垂直的性质及判定证，利用等体积法求点面距；
（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可.
【小问1详解】
连接，由底面，底面，则，
又，，面，则面，
由面，则，
而面，即，故，故，
若到面的距离为，而，即，
又，故.
【小问2详解】
由题意，可构建如下图的空间直角坐标系，显然面的一个法向量为，
且，则，
若是面的一个法向量，则，令，则，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为.

17. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上.
（1）求圆的标准方程;
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或 .
【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程；
（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，再讨论直线的斜率，代入点到直线的距离公式，即可求解.
【小问1详解】
设圆的标准方程为，
故圆心坐标为， 因为圆心在直线上，
所以
因为是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式，有
，即 ，
由①②可得 ，
故圆的方程为 ，
【小问2详解】
由(1)知，圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为,则 ,
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为3，符合题意;
若直线的斜率存在，设直线的方程为,即,
由题意可得 ，解得，
此时，直线的方程为,即.
综上所述，直线的方程为或.
18. 已知抛物线上的点与抛物线焦点的距离为3，点到 轴的距离为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在第一象限，则经过抛物线焦点和点的直线交抛物线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）根据点与抛物线焦点的距离为3、点到 轴的距离为列出方程组可得答案；
（2）联立直线的方程、抛物线的准线方程可得点的纵坐标，再由直线的方程和抛物线联立，可得点的纵坐标，再由点和点的纵坐标相等可得答案.
【小问1详解】
抛物线的准线方程为：，
由题意可得，整理可得，
所以抛物线为：；
【小问2详解】
由题意可知，
则直线的方程为：①，
抛物线的准线方程是②，
联立① ②可得点的纵坐标为：，
因为焦点的坐标为，故直线的方程为
③
把③式和抛物线联立，即，消去得
，
又因为点的纵坐标为，故可得点的纵坐标为，
点和点的纵坐标相等，于是可得 平行于轴.
19. 多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分．
（1）考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率；
（2）现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解；
（2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解.
【小问1详解】
甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，，
设事件表示“猜对本题至少得2分”，
则，有7个样本点，
所以.
【小问2详解】
由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含：
事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况，
则，
事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况，
则
事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况，
则，
故乙丙总分刚好得18分的概率.