江苏省连云港市实验中学2025-2026学年上学期第四次素养评价九年级数学试题-自定义类型

这是一份江苏省连云港市实验中学2025-2026学年上学期第四次素养评价九年级数学试题-自定义类型，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（）
A. 0＜r＜6B. 0≤r≤6C. r＞6D. r≥6
3.求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A. n的值是5
B. 该组数据的平均数是7
C. 该组数据的众数是6和8
D. 若该组数据加入一个数7，则这组新数据的方差不变
4.如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）
A. B. C. 3D.
7.已知二次函数y＝ax2-4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为
A. 4或-4B. 3或-3C. 2或-2D. 1或-1
8.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＞8a；④；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ①③④⑤
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知，则的值为 ．
10.黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感.如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为2cm,则AB的长为 cm.
11.如图，圆锥的底面直径，，则该圆锥的表面积是 （结果保留）．
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c=0的解是________．
13.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为 ．
14.二次函数y=x2+bx的图像如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程：x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是________．
15.在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为 ．
16.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则 PA＋PB的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共9小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
小明用甲骨文制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1) 小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ．
(2) 小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
19.(本小题6分)
在“大美河北，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，5位选手的成绩如图所示．
(1) 5位选手“演讲效果”成绩的众数是 分，“演讲技巧”成绩的中位数是 分；
(2) 求5位选手“演讲技巧”成绩的平均分；
(3) 根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手B按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？
20.(本小题5分)
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若方程的两根之和等于两根之积，求k的值．
21.(本小题5分)
如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且．
(1) 求证：；
(2) 如果，求的长．
22.(本小题5分)
如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
23.(本小题5分)
如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为．
(1) 求该抛物线解析式，并写出y的最大值；
(2) 若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点，当时，求两棵树间的水平距离．
24.(本小题5分)
某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据．
(1) 求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）；
(2) 若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润；
(3) 规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ．
25.(本小题6分)
如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值；
(3) 若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标．
26.(本小题5分)
数学活动课上，李志刚老师给出如下问题：
如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：；
小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形．
(1) 请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程；
(2) 为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题：如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值；
(3) 如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】（）
11.【答案】
12.【答案】x1=-3，x2=1
13.【答案】
14.【答案】 -1≤t＜15
15.【答案】或
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
原方程的解是，；
【小题2】
，
，
，
，
或，
原方程的解为，．

18.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：依题意，画树状图如图，
由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果数有2种
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．

19.【答案】【小题1】
90
85
【小题2】
解：5位选手“演讲技巧”成绩的平均分为（分）；
【小题3】
解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为，根据题意得：
，
解得，
答：选手B“演讲效果”所占比例为．

20.【答案】【小题1】
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
【小题2】
解：设分别是的两个根，
∵，
∴，，
∵方程的两根之和等于两根之积
∴，
∴，
解得，
由（1）得，
∴．

21.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
即，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
证明：连接，
是的切线，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
根据勾股定理可得，
可得，
解得（负值舍去），
（负值舍去），
，
，
．


23.【答案】【小题1】
解：设抛物线解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线解析式为，
，
当时，的最大值为；
【小题2】
点,点在轴上，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
故直线的解析式为，
轴，
设点，
,
，
解得，
为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点，
，
，
两棵树间的水平距离为米．

24.【答案】【小题1】
解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，
∴设，
∵由表格得：当时，；当时，，
∴代入得：，
解得：，
∴；
【小题2】
解：∵某周该产品的销售量不少于800件，由（1）得，
∴，
解得：，
设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，
∴，
∴，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元；
【小题3】

25.【答案】【小题1】
解：将，代入得：，
解得，
所以抛物线的函数表达式为．
【小题2】
解：由题意，设点的坐标为，
如图，过点作轴，交直线于点，则，
∴，
联立，解得或，
∴，，
∴，的边上的高为，的边上的高为，
∴的面积为
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为，
此时，
综上，点的坐标为，该面积的最大值为．
【小题3】
解：将代入得：，
解得或，
∴，
∴，
如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
又∵，
∴直线与抛物线的另一个交点是满足条件的点，
联立，解得（即为点）或，
∴此时点的坐标为；
如图，延长至点，使得，连接，
∴，点是的中点，
∴，，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
又∵，
∴直线与抛物线的另一个交点也是满足条件的点，
联立，解得（即为点）或，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．

26.【答案】【小题1】
将线段沿平移至，交于点K．
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∴；
【小题2】
延长交于点G，再将线段沿平移至．
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴
∴．
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
将线段沿平移至．
∵，
∴．
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
将线段沿平移至MN，连接，，则．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴的最小值为．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴的最小值为．
x
…
-3
-2
-1
0
…
y
…
0
-3
-4
-3
…
x（元/件）
40
55
70
y（件）
1100
950
800