2024—2025学年_江苏连云港东海县九年级上学期期中学业质量检测数学试题[附解析]

这是一份2024—2025学年_江苏连云港东海县九年级上学期期中学业质量检测数学试题[附解析]，共137页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题

1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A.x2=0B.1x2+2x=0C.x3+2x−1=0D.x2+xy+y2=0

2.老师出示问题：“解方程x2−1=0，”四位同学给出了以下答案：
甲x=1；乙x1=x2=1；丙x1=x2=−1；丁x1=1，x2=−1．
下列判断正确的是（ ）
A.甲正确B.乙正确C.丙正确D.丁正确

3.若⊙O的半径为6cm，PO=5cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O内D.点P在⊙O内或⊙O上

4.下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个

5.如图，O是弧AD所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分,那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A.AC⌢=2CD⌢B.AC=2CD
C.∠AOC=2∠CODD.S扇形AOC=2S扇形COD．

6.数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（ ）
A.齐思分数高B.苗想分数高
C.他们分数一样D.以上三种都有可能

7.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

8.如图．在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为1,1，弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2024的坐标是（ ）
A.1,2025B.1,2024C.2025,0D.2024,0
二、填空题

9.方程x−1x−2=0的根是__________________．

10.一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是_____________．

11.关于 x 的一元二次方程x2+nx+3=0有一根为−1，则 n 的值为__________________．

12.如图，已知A，B，C是⊙O上三点，∠C=20∘，则∠AOB的度数为 ．

13.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形=________cm2．

14.如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x−4.9x2．根据物理学规律，物体经过________________s落回地面．（结果保留小数后两位）


15.为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是____________​∘．

16.如图，直线EF与⊙O相切于点C，直线EO与⊙O相交于点D，连接CD．若∠DEF=3∠D，则∠DCF=_________________．

17.如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A0,5，B−2,1，C4,1，则△ABC外接圆半径的长为____________．

18.如图，等边三角形ABC的边长为6，经过点A且与边BC相切的动圆与AB,AC边分别相交于点D，E，则线段DE长度的最小值为____________．
三、解答题

19.解下列方程；
（1）x2−2x−1=0；（用配方法）
（2）3xx−2=2x−2．

20.小明在解方程x2−5x=−3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a=1，b=−5，c=−3，……第一步
∴b2−4ac=−52−4×1×−3=37，……第二步
∴x=5±372，……第三步
∴x1=5+372，x2=5−372．……第四步
（1）问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答．

21.已知关于x的方程x2+2mx+m2−1=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是−2，求2023−m2+4m的值．

22.已知：如图，AD、BC是圆O的两条弦，且AD=BC．求证：AB=CD．

23.某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变1的录用结果．

24.如图，在Rt△ABC中．
（1）尺规作图：以边BC上一点O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，使得⊙O与边AC相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在1的条件下，记⊙O与边BC的另一交点为E，CE=3，CD=6．求⊙O的半径．

25.某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小明给服装店提出如下建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？

26.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P以3cm/s的速度从点B向点A运动，点Q以4cms的速度从点B向点C运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒00，即Δ>0，
∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是−2，
∴4−4m+m2−1=0，
∴−m2+4m=3，
∴2023−m2+4m=2026．
22.
【答案】
见解析
【考点】
利用弧、弦、圆心角的关系求证
【解析】
本题考查了弦与弧的关系，根据题意可得AD⌢=BC⌢，则AD⌢+BD⌢=BC⌢+BD⌢，即可得证．
【解答】
证明：∵AD=BC，
∴AD⌢=BC⌢，
∴AD⌢+BD⌢=BC⌢+BD⌢,
即AB⌢=CD⌢，
∴AB=CD
23.
【答案】
（1）甲
（2）乙
【考点】
条形统计图和扇形统计图信息关联
运用加权平均数做决策
【解析】
（1）根据条形统计图数据求解即可；
（2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可．
【解答】
（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
∴23>22
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
（2）“能力”所占比例为：180∘360∘=12；
“学历”所占比例为：120∘360∘=13；
“经验”所占比例为：60∘360∘=16；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3:2:1；
甲三项成绩加权平均为：2×9+3×5+1×96=7；
乙三项成绩加权平均为：2×8+3×9+1×56=8；
∴8>7
所以会录用乙．
∴会改变录用结果
24.
【答案】
（1）见解析
（2）92
【考点】
尺规作图——作角平分线
勾股定理的应用
切线的性质
【解析】
本题考查了尺规作图—作角平分线，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D；
2设OB=r，根据1的条件知OD⊥AC，在Rt△ODC中，由勾股定理即可求解．
【解答】
（1）解：如图，作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D，
（2）解：如图所示，设OB=r，
由1可知OD⊥AC，
∵CE=3，CD=6，
在Rt△ODC中，OC=OE+EC=3+r，DO=r，
∴OD2+CD2=OC2，
即r2+62=r+32，
解得：r=92，
∴⊙O的半径为92．
25.
【答案】
（1）10%
（2）小明的建议的方案对购买者更优惠，理由见解析
【考点】
有理数混合运算的应用
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
（1）设平均每次下调的百分率为x，根据服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出小明建议的方案价格，再比较即可．
【解答】
（1）解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意得：9001−x2=729，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍），
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）解：小明的建议的方案对购买者更优惠，理由如下：
由题意得：900×1−5%×1−15%=726.75，
∵726.75154cm，
∴当t=32s时，⊙O与直线CD相离，
故答案为：相离；
（2）解：由题意得，PB=3tcm,BQ=4tcm，则CQ=BC−BQ=8−4tcm，
∵⊙O恰好与直线DQ相切，
∴PQ⊥DQ，
∴∠PQB+∠CQD=90∘，
∵∠CDQ+∠CQD=90∘，
∴∠PQB=∠CDQ，
∵∠B=∠C=90∘，
∴△PBQ∽△QCD，
∴PBCQ=BQCD，
∴3t8−4t=4t6，
解得：t=78或t=0（舍），
经检验，t=78是方程的解
∴当t=78时，⊙O恰好与直线DQ相切；
（3）解：连接EQ，
∵PQ为直径，
∴∠PEQ=90∘，
∴EQ⊥DP，
即EQ为点Q到直线PD的距离，
∵∠BCD=90∘，
∴∠BCD+∠DEQ=180∘，
∴点D,C,Q,E四点共圆，
∴∠DEC=∠DQC，
∵∠CED=∠CDQ，
∴∠CDQ=∠CQD，
∴CQ=CD=6cm，
∴BQ=BC−CQ=2cm，
∴此时t=24=12s，
∴PB=32cm，
∴AP=AB−BP=92cm，
∴由勾股定理得：PD=AP2+AD2=3372cm，
∵S△PDQ=S矩形ABCD−S△APD−S△DCQ−S△BPQ=6×8−12×92×8−12×6×6−12×2×32=212cm2
又∵S△PDQ=12PD×EQ，
∴12×3372EQ=212，
解得：EQ=42337337cm．
27.
【答案】
（1）存在最小值，证明见解析；223≤PE≤27；320+633；4395≤k≤555或−555≤k≤−395
【考点】
切线的性质
解直角三角形的相关计算
勾股定理的应用
【解析】
（1）由AP=OP2−OA2，其中OA为常数，即可求解；
2当点P和点C重合时，PD=CD=4为最小，此时，PE=16−4=23，当点P和点B重合时，PD=BD=42为最大，此时，PE=32−4=27为最大，即可求解；
3由四边形CPED面积最小值=S△PCD+S△PED=12CD×ℎ+12PE×EDmin=12×103×4+12×2×23=20+633，即可求解；
4由△PAE面积=12AE×PE=12×2×PE=PE，即1≤PE≤32，而PE2=PA2−AE2=PA2−4，1≤PE≤32，，则5≤PA2≤254，即可求解．
【解答】
解：（1）PA存在最小值，理由：
证明：连接AO，如图1：
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90∘，
∴AP=OP2−OA2，其中OA为常数，
故当OP⊥直线l时，OP最小，此时AP最小；
2连接PD,BD，如图：
由1知，PE2=PD2−ED2=PD2−4，
∴当PD最小时，PE取得最小值，
∴当点P和点C重合时，PD=CD=4为最小，此时PE=16−4=23，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=4,∠BCD=90∘，
∴BD=CB2+CD2=42，
∴当点P和点B重合时，PD=BD=42为最大，此时，PE=32−4=27为最大，
故23≤PE≤27
故答案为：23≤PE≤27；
3直线y=34x+3向下平移5个单位得到直线y=34x−2，
当x=0,y=−2，当y=0，34x−2=0，
解得：x=83，
∴点C、D的坐标分别为：0,−2,83,0，
∴CD=83−02+−2−02=103，
设直线AB和CD的距离为ℎ，过点B作BM⊥CD于点M，连接PD，
∴tan∠ODC=OCOD=283=34，
∴sin∠OCD=45，
对于直线y=34x+3，当x=0,y=3，
∴B0,3，
∴BC=3−−2=5，
∴BM=BC×sin∠OCD=5×45=4，
而PD的最小值=BM=4=ℎ，
∴同上可得：DEmin=PD2−PE2=16−4=23，
∵四边形CPED面积最小值=S△PCD+S△PED=12CD×ℎ+12PE×EDmin=12×103×4+12×2×23=20+633，
故答案为：20+633；
4设直线y=kx和x轴正方向的夹角为α，
设点Px,kx，过点P作PH⊥x于点H，
∴tanα=PHOH=yPxP=kxx=k，
则csα=xPPO=xx2+kx2=11+k2，
如图，过点A作AN⊥直线l，
∴∠POH+∠AOP=∠AOP+∠OAN=90∘
∴∠OAN=∠POH=α，
∵PE为⊙A的切线，
∴PE⊥AE，
∴△PAE面积=12AE×PE=12×2×PE=PE，
∵1≤S≤32
∴1≤PE≤32，
∴PE2=PA2−AE2=PA2−4，
∴当PA最小时，PE最小，
当AP⊥直线l时，即点P、N重合时，PNA最小，
此时PA=AN=OAcsα=41+k2，
∵PE2=PA2−AE2=PA2−4，1≤PE≤32，
∴5≤PA2≤254，
即5≤16k2+1≤254，
解得：395≤k≤555或−555≤k≤−395．